Aufgabe:
Text erkannt:
Seien \( \alpha, \theta \in \mathbb{R}, R_{\alpha} \) die Drehung um \( \alpha \) und \( S_{\theta} \) die Spiegelung an \( G_{\mathbf{0}, v_{\theta}}(4.40 / 43) \)
a) Geben Sie einen Vektor \( w \in \mathbb{R}^{2} \backslash\{0\} \) an, der \( \left\langle w, v_{\theta}\right\rangle=0 \) erfüllt und berechnen Sie \( S_{\theta}(w) \).
b) Beweisen Sie Satz 4.44 (bei c) reicht einer der beiden Fälle).
c) Begründen Sie mit Hilfe von b), dass \( \mathrm{O}(2) \) eine Untergruppe von \( \mathrm{Abb}\left(\mathbb{R}^{2}, \mathbb{R}^{2}\right)^{\times} \)ist.
Hinweis: In a) Sind die Additionstheoreme für sin und cos hilfreich. Die Bedingung \( \left\langle w, v_{\theta}\right\rangle=0 \) besagt, dass \( w \) senkrecht auf \( G_{0, v_{\theta}} \) steht. In b) können Sie ebenfalls auf Additionstheoreme zurückgreifen, alternativ: Zeigen Sie zunächst für alle \( \theta \in \mathbb{R} \) die Identität \( R_{2 \theta} \circ S_{0}=S_{\theta}= \) \( S_{0} \circ R_{-2 \theta} \). Daraus können Sie ohne viel Matrixrechnung alles Andere folgern.
Text erkannt:
Satz 4.44 Die Spiegelungen \( S_{\theta}: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} \) haben folgende Eigenschaften:
a) Für \( \theta, \phi \in \mathbb{R} \) gilt: \( S_{\theta} \circ S_{\phi}=R_{2(\theta-\phi)} \).
b) Alle Abbildungen \( S_{\theta} \) sind bijektiv. Die Inverse ist \( \left(S_{\theta}\right)^{-1}=S_{\theta} \).
c) Ist \( R_{\alpha}: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} \) zusätzlich eine Drehung, so gilt \( S_{\theta} \circ R_{\alpha}=S_{\theta-\frac{\alpha}{2}} \) und \( R_{\alpha} \circ S_{\theta}=S_{\theta+\frac{\alpha}{2}} \).
Problem/Ansatz:
Ich habe leider keine Ahnung wie ich das beweisen soll, also aufgabe B
