Additionstheorem für Cosinusfunktionen anwenden

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

Aufgabe 2 (14 Punkte). (i) Beweisen Sie folgende Aussagen für \( x \in \mathbb{R} \) unter Verwendung des Additionstheorems für die Cosinusfunktion.
\( (4 \mathrm{P} \).
(a) \( \cos ^{2} x=\frac{1}{2}(1+\cos (2 x)) \)
(b) \( \cos ^{4} x-\sin ^{4} x=\cos (2 x) \).
(ii) Verwenden Sie die Eulersche Formel, um zu zeigen, dass
\( \cos ^{3}(x)=\frac{1}{4} \cos (3 x)+\frac{3}{4} \cos x \)
für \( x \in \mathbb{R} \) gilt.
(iii) Zeigen Sie, dass die Funktion \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) mit
\( f(x):=\exp (x)-\sin x \text { für } x \in \mathbb{R} \)
mindestens eine Nullstelle besitzt.

Wie soll ich vorgehen? Ich dachte an: cos^2 x = cos x * cos x und für cos x= 1/2(e^ix +e^-ix). Aber dann sehe ich nicht wie ich auf das Ergebnis kommen soll. Außerdem wäre das nicht das Additionstheorem oder? Mit cos(x+y) wo ich 2 mal x einsetzte macht es aber auch keinen Sinn...

Answer 1

cos(2x) = cos^2(x) - sin^2(x)
1 = cos^2(x) + sin^2(x)

cos^2(x) = 1 - sin^2(x)
sin^2(x) =  cos^2(x) - cos(2x)
cos^2(x) = 1  - cos^2(x) +  cos(2x)

....

Comments

Danke, ich habe es jetzt. Vielleicht noch ein paar Worte zur ii)?

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Stures einsetzen, was anderes fällt mir nicht ein.

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Was setzt ich wo ein? Die Formel ist ja: e^ix = cos(x) + i sin(x). Ist es dann e^3ix = 1/4 cos(3x) + 3/4i * sin x oder so ähnlich?

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Betrachte den Realteil von (cos x + i·sin x)^3 einmal mit dem binomischen Satz (nebst Pythagoras) und einmal mit der Eulerschen Formel (nebst Potenzgesetz) berechnet.

Answer 2

Mal nur zur ersten Teilaufgabe:

Beginnen wir mal mit:

cos(2x) = cos(x+x) = cos(x) · cos(x) - sin(x) · sin(x)     (Additionstheorem Cosinus)

= cos²(x) - sin²(x) = cos²(x) - (1 - cos²(x) )     (Trigon. Pythagoras)

=  2 cos²(x) - 1

.... und dann noch ein bisschen umformen ... voilà !

Viel mehr Künste braucht man auch für die anderen Beispiele nicht.

Comments

Danke, ich habe es jetzt. Vielleicht noch ein paar Worte zur ii)?