Permutation Sitzordnung Formel bestimmen

Question

Aufgabe:

Ein Gremium besteht aus insgesamt neun Mitgliedern aus drei Ländern, wobei jedes der Länder drei Mitglieder stellt.

Wie viele Möglichkeiten gibt es, sodass alle Mitglieder in einer Reihe sitzen, in der keine drei Mitglieder eines jeden Landes direkt nebeneinander sitzen ?

Problem/Ansatz:

Drei Mitglieder aus Land A, die direkt nebeneinander sitzen: 3!(9-2)!

Drei Mitglieder aus Land B, die direkt nebeneinander sitzen: 3!3!(9-4)!

Usw.

Anschließend verwendet man Formel für Prinzip der Inklusion und Exklusion.

Wer kann mir erklären, warum man von 9 zwei abzieht, dann bei B  9-4 usw. ?

Comments

Bei dir kommen Bruchzahlen raus.

Möglichkeiten sind ganzzahlig.

Wie lautet das Gegenereignis?

Ohne Einschränkung gäbe es 9! Möglichkeiten.

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Wieso Bruchzahlen ? Ergebnis ist 9! - 3 * 3!7! + 3 * (3!)^2*5! - (3!)^4 = 283824

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Sorry, ich habe da vorhin einen Strich gesehen.

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Kommentar gelöscht

Answer 1

Man fasst drei nebeneinander sitzende Mitglieder eines Landes als einen Block auf, der mit den restlichen 6 Mitgliedern permutiert wird.

Aus 3 Mitgliedern wird also ein ("3-personiger") Block.

\(\Rightarrow 9-2 = 7 \) Objekte werden nun permutiert und die 3 aus A untereinander:

\(\Rightarrow 7!\cdot 3!\)

Die zweite Formel gehört zu dem Fall, dass auf jeden Fall die Mitglieder aus zwei Ländern jeweils 3-er Gruppen bilden.

\(\Rightarrow \) wir bekommen 2 Dreierblöcke + die 3 restlichen Mitglieder, also

\(5=9-4\)

Diese 5 Objekte werden nun permutiert. Zusätzlich werden auch hier wieder die Mitglieder aus einem Land jeweils untereinander permutiert:

\(\Rightarrow 5!\cdot 3! \cdot 3!\)

Analog erhält man dann bei 3 Dreierblöcken \(3!\cdot 3!\cdot 3!\cdot 3!\)

Comments

Ich verstehe aber leider immer noch nicht, warum 9 -2 gerechnet wird, warum rechnet man nicht einfach beim ersten Block 9! * 3! statt 7! * 3!.

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Weil man die 3 zusammensitzenden Personen als einen Block betrachtet.

Stell dir mal vor, du permutierst 6 Personen und eine Bank. Und zum Schluß setzt du die 3 zusammengehörigen Personen auf die Bank.

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Also mein Verständnis geht so: 3 Personen besetzen einen Sitzplatz von 9 Sitzplätzen. 6 Sitzplätze bleiben frei. Also 3!*(9-3)! In den Lösungen steht aber (9-2)! für ein Block. Mir fällt das irgendwie schwer zu verstehen, warum für ein Block -2 und nicht -3 gerechnet wird, es werden doch 3 Sitzplätze belegt und 6 Plätze bleiben frei, nicht 9 - 2 = 7.

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Wenn ich in deinem Kontext bleibe, sitzen die 3 übereinander auf einem Sitzplatz. Damit bleiben 2 Sitzplätze frei, die du wegstellst - also 9-2 = 7.

Oder anders herum:

Aus den 3 wird ein dicker. Die drei verschwinden ja nicht - das wäre 9-3 - sondern "verschmelzen" zu einem - also drei weg aber durch einen ersetzt: 9-3+1 = 7.

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Bei 3!*(9-3)! Permutiert man die 3 Personen, die auf den Plätzen 1-3 sitzen und die leeren Stühle der freien 6 Plätze.

Es sieht aber so aus das die drei Personen ja auch auf den Plätzen 2-4 sitzen können oder auf den Plätzen 7-9. Das würde hier aber nicht berücksichtigt, es würde daher auch gehen

3! * (9-3)! * 7 = 3! * 6! * 7 = 3! * 7! = 3! * (9 - 2)!