Permutation Zopfrelation beweisen

Question

Für 1≤ i < n definieren wir die Permutation

σi = ( i i+1) = \( \begin{pmatrix} 1 & 2 & ...& i-1 & i & i+1 & i+2 & ...&n \\ 1 & 2 &...& i-1& i+1 & i & i+2&...&n  \end{pmatrix} \)

Beweisen Sie für 1≤ i ≤ n die sogenannte Zopfrelation:

σiσi+1σi= σi+1σiσi+1

Kann mir jemand bitte diese Aufgabe erklären ? Dankeschön

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Nachbar Transposition Beweis

Stichworte: lineare-algebra,transponiert

Aufgabe:

Für 1  ≤ i ≤ n − 1 sei s_i die Transposition (i i+1) ∈ Sn , d.h. s_i vertauscht i mit i+1 und lässt die anderen Buchstaben fest, zeigen Sie dass

s_is_i+1s_i  = s_i+1s_is_i+1

Ich weiß nicht, wie ich das für diese Nachbartransposition beweisen soll.

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Siehe
https://www.mathelounge.de/902066/permutation-zopfrelation-beweisen

Da habe ich auch eine Skizze drangehängt, die verständlich macht,

warum man dies die "Zopfrelation" nennt.

Answer 1

Du wendest also erst die ganz rechte Permutation, dann die links daneben auf die resultierende Folge und so weiter. Jetzt kannst du das Ganze noch für die rechte Seite machen und wirst sehen, dass die resultierende Permutation die gleiche ist.

Answer 2

Zur Zopfrelation:\(\;\;\;\)

Answer 3

Mache dir mal eine Tabelle mit den Positionen

                   i      i+1       i+2(bzw.1)

und drei Elementen a,b,c .

Verfolge nun, was bei jedem Schritt passiert

                   a       b              c

si:                b        a              c
si+1               b       c              a
si                  c        b             a

Also aus abc wird cba.

Jetzt mit dem anderen Produkt

              i     i+1      i+2(bzw.1)
              a       b             c
si+1         a       c             b
si            c        a            b
si+1          c       b            a

Also haben beide Folgen der Transpositionen

das gleiche Endergebnis.