Aufgabe:
Es sei P3 der Vektorraum der Polynome höchstens dritten Grades.
Dann sei die Abbildung T : P3 → P3, p 7→ T p definiert durch
(T p) (x) = p(x) − (x − 1)p ′ (x) ∈ P3, wobei p ′ die Ableitung von p bezeichnet.
a) Zeigen Sie, dass T eine lineare Abbildung ist.
b) Bestimmen Sie die Darstellungsmatrix von T bezuglich der Basis ( ¨ v0, v1, v2, v3) =(1, x, x2 , x3 ). Ist T bijektiv?
c) Bestimmen Sie Bild T und Kern T = {p ∈ P3 | T p = 0}
Problem/Ansatz:
Ich habe etwas versucht, indem ich diese geschrieben habe, aber es hat nicht funktioniert. Ich freue mich, wenn Sie mir helfen;;
(1)
\( \begin{array}{l} P_{3} \text { - Polynome Rochstens drittion Gades }\left(a x^{3}+6 x^{2}+c x+d\right) \\ T: P_{3} \rightarrow P_{3}, p \rightarrow T p \\ (T p)(x)=p(x)-(x-1) p^{\prime}(x) \in P_{3} \rightarrow \text { Albildung } \\ \end{array} \)
Eine Abbildung ReiBt linear, wenn es gitt
a) \( f(u+v)=f(u)+f(v) \) für alle \( u, v \in U \)
b) \( f\left(\lambda_{u}\right)=\lambda f(u) \)
hier:
\( \begin{array}{l} T_{p}(u+v)=p(u+v)-(u+v-1) p^{\prime}(u+v) \\ \text { (Tplu) }+T p(v) \\ \text { xov } \text { p fop } p(u)-(u-1) p^{\prime}(u)+p(v)-(v-1) p^{\prime}(v) \\ =p(u)+p(v) n^{\prime} p^{\prime \prime}(u-1) p^{\prime}(u)-(v-1) p^{\prime}(v) \\ (T p)(x)=a x^{3}+b x^{2}+c x+d-(x-1)\left(2 a x^{2}+a b x+c\right) \\ T p(x)=a x^{3}+b x^{2}+c x+d-(x-1)\left(3 a x^{2}+2 b x+c\right) \\ =a x^{3}+b x^{2}+c x+d-\left(3 a x^{3}+2 b x^{2}+c x-3 a x^{2}-2 b x-c\right) \\ =a x^{3}+b x^{2}+d x+d-3 a x^{3}-2 b x^{2}-d x+3 a x^{2}+2 b x+c \\ =-2 a x^{3}+(-6+3 a) x^{2}+2 b x+c+d \\ \end{array} \)
