Für die Begründung der Antwort ist der Zwischenwertsatz praktikabel.
Sei \(D > 0\) die Distanz des Zieles vom Startpunkt der Wanderung.
Weiterhin sei \(t\) die Zeit in Stunden, wobei wir 8.00Uhr auf \(t=0\) setzen:
\(\Rightarrow t\in [0,8]\)
Für die Hinwanderung bezeichne \(h(t)\) die Distanz des Wanderers vom Startpunkt zum Zeitpunkt \(t\). Analog bezeichne für die Rückwanderung \(r(t)\) die Distanz des Wanderers vom ursprünglichen Startpunkt.
Wir gehen davon aus, dass der Wanderer keine interdimensionalen Sprünge machen kann. Daher haben wir zwei stetige Funktionen
\(h,r:\;[0,8]\rightarrow \mathbb R\) mit
\(h(0) = 0, h(8) = D\) und \(r(0)=D, r(8) =0\)
Dann ist
\(r-h:\;[0,8]\rightarrow \mathbb R\) stetig mit
\((r-h)(0) = D\) und \((r-h)(8) = -D\).
Laut Zwischenwertsatz hat \(r-h\) eine Nullstelle \(t_0\), d.h.
\(r(t_0) = h(t_0)\)
Zu diesem Zeitpunkt befindet sich also der Wanderer an derselben Stelle und das zur selben Tageszeit.
