Zeigen Sie, dass es auf dem Weg eine Stelle gibt, die sie an beiden Tagen zur gleichen Tageszeit passieren.

Question

Aufgabe:

Tom und Tina beginnen um 8 Uhr morgens mit dem Aufstieg auf die Zugspitze. Sie übernachten auf dem Gipfel im Münchner Haus und beginnen am nächsten Tag ebenfalls um 8 Uhr morgens den Abstieg auf demselben Weg zurück. Zeigen Sie, dass es auf dem Weg eine Stelle gibt, die sie an beiden Tagen zur gleichen Tageszeit passieren.

Problem/Ansatz:

Voraussetzung: beide gehen nicht zurück

Ansatz: ich habe beide Graphen gezeichnet und übereinander gelegt, wo zu erkennen ist, dass sie sich schneiden.

Schnittpunkt beider Graphen ist die gesuchte Stelle.

Problem: Wie Beweise ich das jetzt?

Setze ich die beiden Funktionen gleich?

Answer 1

Schnittpunkt beider Graphen ist die gesuchte Stelle. Setze ich die beiden Funktionen gleich?

Ja genau.

Dazu definieren wir uns zwei stetige Funktionen die die Höhe beim Auf und Abstieg als Anteil der maximalen Höhe angibt.

f(t) für den aufstiegt d.h. f(8) = 0 und f(24) = 1

g(t) für den Abstieg d.h. g(8) = 1 und g(24) = 0

D.h.

f(t) = g(t) ergibt die Gleiche Tageszeit in der sie auf der gleichen Höhe sind wie am Vortag

d(t) = f(g) - g(t) = 0

Jetzt gilt

d(8) = -1 und d(24) = 1 und damit nach dem Nullstellensatz mind eine Nullstelle. Also einen Zeitpunkt an dem der Höhenunterschied 0 ist.