Hallo Leon,
ich versuche mal 'ne Antwort. Der Graph von Georg oben ist korrekt. Das Minus ist durch die Umstellung der Differenz \((1-x)\) wieder aufgehoben. Das ganze sieht jetzt so aus:
~plot~ x*e^(2-x);(1-x)*e^(2-x);5x;[[-2|9|-2|9]] ~plot~
die grüne Gerade ist die Funktion \(y=5x\). Jede weitere Gerade mit \(b \gt 5\) wäre also noch steiler.
Die Strecke. die die beiden Funktionen \(f(x)\) und \(f'(x)\) aus \(y=bx\) heraus schneiden, wird maximal für \(b \to \infty\). Dann steht die grüne Gerade quasi senkrecht und die Strecke \(s\) ist \(s= e^2\).
Nachtrag: rein formal könnte man es so argumentieren:
Der Schnittpunkt der Geraden \(bx\) und der Funktion \(f(x)\) berechnet sich aus $$\begin{aligned} bx &= x \cdot e^{2-x} && \implies x_1 = 0 \\ b &= e^{2-x} && \left| \, \ln \right. \\ \ln(b) &= 2-x && \left|\, +x-\ln(b) \right.\\ x_2 &= 2 - \ln(b) \end{aligned}$$Der zugehörige y-Wert ist dann $$y_2 = b(2- \ln(b))$$Dieser Wert ist positiv, solange \(b \lt e^2\) ist. D.h. für Werte von \(b\) im Intervall \((5 ,\, e^2)\) ist die Lösung \((x_2,y_2)\) relevant, da sie näher an der Kurve von \(f'(x)\) liegt (s. der rote Graph oben). Wird \(b \ge e^2 \) so ist der Wert \((x_1,\, y_1) = (0,\,0)\) relevant, da dann \(y_2 \le 0\) wird.
Der Schnittpunkt der Geraden \(bx\) und der Ableitung \(f'(x)\) berechnet sich aus$$bx = (1-x) e^{2-x}$$diese Gleichung ist (wie schon erwähnt) nur nummerisch zu lösen. Also stelle man eine Tabelle auf, mit konkreten Werten von \(b\)$$\begin{array}{r|rr|rr|r}b& x_{f'}& f'(x)& x_f& f(x)& s\\ \hline 5& 0.4781& 2.3906& 0.3906& 1.9528& 0.4465\\ 10& 0.3438& 3.4380& 0& 0& 3.4552\\ 20& 0.2274& 4.5478& 0& 0& 4.5534\\ 40& 0.1385& 5.5418& 0& 0& 5.5435\\ 80& 0.0787& 6.2928& 0& 0& 6.2933\end{array}$$es ist deutlich zu sehen, dass mit steigenden Werten von \(b\) die berechnete Strecke \(s = \sqrt{(x_{f'} - x_f)^2 + (f' - f)^2}\) immer weiter anwächst. Und der Grenzwert liegt offensichtlich bei \(s = f'(x_{f'} = 0) = e^2 \approx 7,39\) bei \(b \to \infty\).
wie soll ich dann auch noch begründen, dass dies eine absolute Maximalstelle ist?
aus der Anschauung und aus der Tabelle heraus. \(b \to \infty\) gibt ein absolutes Maximum im Intervall \(b=(5; \, \infty)\).
BTW.: ich meine, dass an der Aufgabe irgendwas nicht stimmt. Studierst Du an der Uni oder FH? Welches Fach?
Gruß Werner
