Bestimmen Sie die Werte u , für die die Tangente tu den positiven Teil der x - Achse und den negativen Teil der y - …

Question

Aufgabe:

Für jedes a > 0 ist eine Funktion f , gegeben durch f a( x ) = ax² (1 - In (x²/a)) .

Für jedes u ( u E R , u > 0 ) existiert im Punkt R( u l f1( u ) ) eine Tangente tu , an den Graphen der Funktion f₁ .

Ermitteln Sie eine Gleichung dieser Tangente . Bestimmen Sie die Werte u , für die die Tangente tu den positiven Teil der x - Achse und den negativen Teil der y - Achse schneidet .

Problem/Ansatz:

Ich habe echt Probleme bei dieser Aufgabe, ich weiß nicht wie ich das rechnen soll...ich würede mich auf jede Hilfe und Erklärung freuen.

Answer 1

Vor dem Bestimmen der Ableitung würde ich erst mal was umformen:

In (x²/a) =  In (x²) -ln(a) = 2ln(x) - ln(a) also

f_a( x ) = ax² (1 - 2ln(x) + ln(a) ) =ax² - 2aln(x)x² + aln(a)x² 

==>  f_a'(x)=2ax - 2a(2xln(x)+x)+2aln(a)x

=2ax - 4axln(x)+2ax+2aln(a)x

= - 4axln(x)+2aln(a)x

= -2ax ( 2ln(x)-a)

Für a=1 also  f1'(x)= -2*1*x ( 2ln(x)-1) =-2x(2ln(x)-1)

Da hat die Tangente im Punkt R( u l f1( u ) ) die

Steigung m =  -2u(2ln(u)-1)

Und f₁(u)=u² - 2ln(u)u² = u² (1-2ln(u) ) Mit y=mx+n für die

Tangente bekommst du u² (1-2ln(u) ) =   -2u(2ln(u)-1)*u + n

==> u² (1-2ln(u) ) =  -2u² (2ln(u)-1)+ n

==> u² (1-2ln(u) ) =  2u² (1-2ln(u))+ n    | -2u² (1-2ln(u))

==> -u² (1-2ln(u) ) =   n

Also t: y=  -2u(2ln(u)-1)*x -u² (1-2ln(u) )  =   2u(1-2ln(u))*x -u² (1-2ln(u) )

die Werte u , für die die Tangente tu den positiven Teil der x - Achse

und den negativen Teil der y - Achse schneidet :

Nullstelle liegt bei x, wenn gilt

0 =  2u(1-2ln(u))*x -u² (1-2ln(u) )

u² (1-2ln(u) ) =  2u(1-2ln(u))*x

Für 1-2ln(u)=0 ist die Tangente die x-Achse, das fällt also aus.
also kann man teilen:

  u²  =  2u*x

Wegen u>0 also   u/2 = x.

Also muss schon mal u/2>0 gelten und für die y-Achse auch noch

       -u² (1-2ln(u) ) > 0

       <=> 2ln(u) - 1 > 0

        <=>  ln(u) > 1/2

         <=>   u >  e^(1/2) .

die Werte u , für die die Tangente tu den positiven Teil der x - Achse

und den negativen Teil der y - Achse schneidet sind also

genau die, für die   u >  e^(1/2)  gilt.