Grenzwerte von Folgen

Question

Aufgabe:

Sei (an) eine konvergente Folge und sei c ≤ an für ein c ∈ R. Zeigen Sie, dass
lim an ≥ c. n→∞
Hinweis: Nehmen Sie an, dass limn→∞ an < c ist. Das führt zu einem Widerspruch.

Problem/Ansatz:

c soll immer unter dem Grenzwert einer Folge liegen, aber wie zeige ich das formal?

Answer 1

Idee (s.o.): "Nehmen Sie an, dass lim n→∞ an < c ist."

Und sei etwa  lim n→∞ an = a, also a < c.

Dann gilt nach Grenzwertdefinition:

Für ε= (c-a)/2 [ Das ist größer 0 ! ]

existiert ein N mit n>N ==>  |a_n - a | <  ε

Also  a - ε < a_n <   a - ε

==>   a - (c-a)/2 < a_n <  a +  (c-a)/2

==>  a - c/2 + a/2 < a_n <  a +  c/2 -a/2

==>  3a/2 - c/2  < a_n <  a/2 +  c/2 

Wegen a<c also a_n <  c/2 +  c/2 = c.

Widerspruch zu  c ≤ a_n.

Comments

Nabend, erstmal danke für deine Antwort!

Leider kann ich das nicht ganz nachvollziehen, da mir das Thema auch momentan nicht ganz liegt. Könntest du das nochmal für "dummies" erläutern oder bist du auch woanders erreichbar? (z.B. Discord)

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Sind deine Pfeile ( ==>) als Implikation oder als Äquivalenz bzw. Äquivalenzumformung oder als ein normales "=" zu deuten?

Schönen Abend noch.