Berechnen Sie, wie oft Malte mindestens schießen muss, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 99% mindestens …

Question

Aufgabe:

Malte hat beim Torwandschießen eine Trefferquote von
30%.

Berechnen Sie, wie oft Malte mindestens schießen muss, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 99% mindestens einmal zu treffen.
Ermitteln Sie, wie viele Versuche Malte mindestens benötigt, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90 % mindestens 4 Treffer zu landen.

Lösen Sie die Fragestellung in b) mit einer Mindest-wahrscheinlichkeit von 80 %.

Answer 1

mindestens einmal zu treffen.

Gegenereignis ist "kein mal Treffen"

Dazu gibt es in einem einstufigen Baumdiagramm nur einen einzigen Pfad. Dieser hat die Wahrscheinlichkeit (1 - 0,3)ⁿ.

mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 99% mindestens einmal zu treffen.

Also muss 1 - (1 - 0,3)ⁿ ≥ 0,99 sein.

Löse diese Ungleichung.

wie viele Versuche Malte mindestens benötigt, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90 % mindestens 4 Treffer zu landen.

Es soll P(X ≥ 4) ≥ 0,9 gelten, also 1 - P(X ≤ 3) ≥ 0,9 und somit

        P(X ≤ 3) ≤ 0,1

Laut Sigma-Regeln muss $3$ zwischen $\mu - 1,64\sigma$ und $\mu - \sigma$ liegen.

        $\begin{aligned} \mu & =n\cdot p & \implies\mu & =0,3n\\ \sigma & =\sqrt{n\cdot p\cdot\left(1-p\right)} & \implies\sigma & =\sqrt{0,21n}\\ k & =\mu-c\sigma & \implies3 & =0,3n-c\sqrt{0,21n} \end{aligned}$

Einsetzen von $c = 1$ liefert u.a. $n = 16,14$.

Einsetzen von $c = 1,64$ liefert u.a. $n = 21,66$.

Also liegt $n$ zwischen 17 und 21. Ausprobieren.

Answer 2

Malte hat beim Torwandschießen eine Trefferquote von 30%.

Berechnen Sie, wie oft Malte mindestens schießen muss, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 99% mindestens einmal zu treffen.

Mindestens drei mal mindestens Aufgabe

P(X >= 1) = 1 - P(X = 0) = 1 - (1 - 0.3)ⁿ = 0.99 --> n = 12.91

Malte muss mindestens 13-mal schießen.

Ermitteln Sie, wie viele Versuche Malte mindestens benötigt, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90% mindestens 4 Treffer zu landen.

P(X >= 4) = 1 - P(X <= 3) >= 0.9

P(X <= 3) = 1 - 0.9 <= 0.1 → n = 21

Malte muss 21-mal schießen.

In dieser Aufgabe ist das genaue Verfahren beim Vorgehen von den Möglichkeiten Abhängig. Entweder kann man das mit Technologieeinsatz lösen oder die Normalverteilung als Näherung benutzen. Auch kommt das Lösen über eine Wertetabelle in Frage.