Aufgabe:
Beweise, dass für a1, a2, a3 > 0 folgendes gilt:
Text erkannt:
\( \begin{aligned} \log \frac{a_{1}+a_{2}}{2} & \geq \frac{\log a_{1}+\log a_{2}}{2} \\ \log \frac{a_{1}+a_{2}+a_{3}}{3} & \geq \frac{\log a_{1}+\log a_{2}+\log a_{3}}{3}\end{aligned} \)
Problem/Ansatz:
Das obere mit a1 und a2 habe ich bereits gelöst. Das sah wie folgt aus ...
Text erkannt:
\( \log \left(\frac{a_{1}+a_{2}}{2}\right) \quad \geq \frac{\log \left(a_{1}\right)+\log \left(a_{2}\right)}{2} \)
\( \Leftrightarrow \quad \log \left(\frac{a_{1}+a_{2}}{2}\right) \quad \geq \quad \frac{\log \left(a_{1} a_{2}\right.}{2} \)
\( \Leftrightarrow \quad \log \left(\frac{a_{1}+a_{2}}{2}\right) \quad \geq \quad \frac{1}{2} \log \left(a_{1} a_{2}\right) \)
\( \Leftrightarrow \quad \log \left(\frac{a_{1}+a_{2}}{2}\right) \quad \geq \quad \log \left(\sqrt{a_{1} a_{2}}\right) \quad \mid e^{()} \)
\( \Leftrightarrow \quad \frac{a_{1}+a_{2}}{2} \quad \geq \quad \sqrt{a_{1} a_{2}} \quad \mid()^{2} \)
\( \Leftrightarrow \quad \frac{\left(a_{1}+a_{2}\right)^{2}}{4} \quad \geq \quad a_{1} a_{2} \quad \mid \cdot 4 \)
\( \Leftrightarrow \quad\left(a_{1}+a_{2}\right)^{2} \quad \geq \quad 4 a_{1} a_{2} \quad \mid-4 a_{1} a_{2} \)
\( \Leftrightarrow \quad\left(a_{1}-a_{2}\right)^{2} \quad \geq 0 \)
Anschließend habe ich es analog mit dem zweiten Teil machen wollen. Allerdings geht das schief, denn es kann ja sein, dass -19a1a2a3 größer ist als der Rest, sodass die Ungleichung falsch wäre.
Text erkannt:
\( \log \left(\frac{a_{1}+a_{2}+a_{3}}{3}\right) \quad \geq \quad \frac{\log \left(a_{1}\right)+\log \left(a_{2}\right)+\log \left(a_{3}\right)}{3} \)
\( \Leftrightarrow \log \left(\frac{a_{1}+a_{2}+a_{3}}{3}\right) \quad \geq \quad \frac{\log \left(a_{1} a_{2} a_{3}\right)}{3} \)
\( \Leftrightarrow \log \left(\frac{a_{1}+a_{2}+a_{3}}{3}\right) \quad \geq \quad \frac{1}{2} \log \left(a_{1} a_{2}\right) \)
\( \Leftrightarrow \quad \log \left(\frac{a_{1}+a_{2}+a_{3}}{3}\right) \quad \geq \quad \log \left(\sqrt[3]{a_{1} a_{2} a_{3}}\right) \quad \mid e^{()} \)
\( \Leftrightarrow \frac{a_{1}+a_{2}+a_{3}}{3} \quad \geq \quad \sqrt[3]{a_{1} a_{2} a_{3}} \quad \mid()^{3} \)
\( \Leftrightarrow \frac{\left(a_{1}+a_{2}+a_{3}\right)^{3}}{27} \quad \geq \quad a_{1} a_{2} a_{3} \quad \mid \cdot 27 \)
\( \Leftrightarrow \quad \geq \quad(*) \quad 27 a_{1} a_{2} a_{3} \quad \mid-27 a_{1} a_{2} a_{3} \)
\( \Leftrightarrow \quad(* *) \quad \geq \quad 0 \)
(*) \( a_{1}^{3}+a_{2}^{3}+a_{3}^{3}+3 a_{1}^{2} a_{2}+3 a_{1}^{2} a_{3}+3 a_{1} a_{2}^{2}+6 a_{1} a_{2} a_{3}+3 a_{1} a_{3}^{2}+3 a_{2}^{2} a_{3}+3 a_{2} a_{3}^{2} \)
(**) \( a_{1}^{3}+a_{2}^{3}+a_{3}^{3}+3 a_{1}^{2} a_{2}+3 a_{1}^{2} a_{3}+3 a_{1} a_{2}^{2}-19 a_{1} a_{2} a_{3}+3 a_{1} a_{3}^{2}+3 a_{2}^{2} a_{3}+3 a_{2} a_{3}^{2} \)
Danach hab ich es nochmal etwas anders probiert, wobei ich dann nur zeigen konnte, dass zumindest die Gleichheit stimmt.
Text erkannt:
\( \log \left(\frac{a_{1}+a_{2}+a_{3}}{3}\right) \geq \frac{\log \left(a_{1}\right)+\log \left(a_{2}\right)+\log \left(a_{3}\right)}{3} \)
\( \Leftrightarrow \log \left(\frac{a_{1}+a_{2}+a_{3}}{3}\right) \quad \geq \quad \frac{\log \left(a_{1} a_{2} a_{3}\right)}{3} \)
\( \Leftrightarrow \quad \log \left(\frac{a_{1}+a_{2}+a_{3}}{3}\right) \quad \geq \quad \frac{1}{2} \log \left(a_{1} a_{2}\right) \)
\( \Leftrightarrow \quad \log \left(\frac{a_{1}+a_{2}+a_{3}}{3}\right) \quad \geq \quad \log \left(\sqrt[3]{a_{1} a_{2} a_{3}}\right) \quad \mid e^{()} \)
\( \Leftrightarrow \frac{a_{1}+a_{2}+a_{3}}{3} \quad \geq \quad \sqrt[3]{a_{1} a_{2} a_{3}} \quad \mid()^{3} \)
\( \Leftrightarrow \frac{\left(a_{1}+a_{2}+a_{3}\right)^{3}}{27}(* * *) \quad \geq \quad a_{1} a_{2} a_{3} \quad \mid \cdot 27 \)
\( \Leftrightarrow\left(a_{1}+a_{2}+a_{3}\right)^{3} \quad \geq \quad 27 a_{1} a_{2} a_{3} \quad 27 a_{1} a_{2} a_{3} \) für linke Seite in
\( \Leftrightarrow \quad a_{1} a_{2} a_{3} \quad \geq \quad a_{1} a_{2} a_{3} \)
Und jetzt weiß ich nicht mehr weiter :)
