Hat das was mit der Charakteristik zu tun?

Question

Sei X ein Vektorraum über dem Körper K mit der Charakteristik 0

a) X ist unendlich

b) Wenn X mindestens 2 Elemente hat, dann ist X unendlich

c) Wenn die Dimension von X mindestens 1 beträgt, dann ist X unendlich

a) ist falsch, die anderen Punkte sind wahr. Meine Frage ist nun, wie man genau darauf kommt, dass nur wenn X bzw. die Dimension von X mindestens 2 Elemente hat bzw. Dimension 1 beträgt, dass X dann unendlich ist. Hat das was mit der Charakteristik zu tun? Das bedeutet ja nur wie oft man das neutrale mulitplikative Element 1 aufaddieren um das additive neutrale Element 0 zu erhalten.

Comments

Eigentlich hat es nicht direkt was mit der Charakteristik zu tun

char K = 0 impliziert aber dass K unendlich viele Elemente enthält.

Und darauf kommt es an.

Answer 1

a) X ist unendlich  Wenn der VR nur aus der 0 besteht nicht

b) Wenn X mindestens 2 Elemente hat,

      dann hat er ein Element v , das nicht 0 ist.

Dann sind v , v+v , v+v+v , etc alle in v und wegen char K=0 auch

                              alle verschieden, also hat V unendlich viele Elemente.

c) Wenn die Dimension von X mindestens 1 beträgt, dann ist X unendlich

            dim=1 ==>  Es gibt eine Basis mit mindestens einem von 0

               verschiedenen Element, also wie b)