Beweise, dass Folgendes die einzige Lösung des LGS ist

Question

Über einem Körper K sei ein LGS A · (x_j) = (s_i) mit A ∈ GL_n(K) gegeben.
(a) Beweise, dass A^−1 · (s_i) die einzige Lösung dieses LGS ist.

b) Wähle eine Primzahl p und löse gemäß (a) das LGS A · (x_j) = (s_i) über Z_p mit A:=

1	0	1	0
1	1	1	1
1	0	0	0
0	0	1	1

und (s_i):=

1 0 1 0

Bei a wüsste ich nicht wirklich einen Ansatz und bei b) wurde ja der Z_2 gewählt, wieso soll ich dann noch eine Primzahl selber wählen?

Comments

bei b) wurde ja der Z_2 gewählt

Nein. Du kannst p=2 wählen. Aus den gegebenen Daten
geht nicht hervor, dass p=2 ist; denn die Elemente 0 und 1 liegen
in jedem (unitären) Ring/Körper.

Answer 1

a)

1. Zeige durch Einsetzen, dass \(A^{-1}s_i\) eine Lösung des Systems ist.

2. Berechne durch Multiplikation mit \(A^{-1}\) von links eine Lösung \(y\) von \(Ay=s_i\) und erkenne, dass sie mit der Lösung aus 1. übereinstimmt. Das liefert die Eindeutigkeit.

b) Berechne \(A^{-1}s_i\).