Standardabweichung von X1, wenn X1 N(μ, σ )-verteilt ist mit μ = 50 und P(X1≤55)=0,6915

Question

Aufgabe:

Wie bestimme ich die Standardabweichung von X1 (Zufallsvariable), wenn X1N(μ₁, σ₁² )-verteilt ist mit μ₁ = 50 und es gilt P(X1≤55)=0,6915?

Problem/Ansatz:

Ich kenne zwar die Basics vo Zufallsvariablen aber mit der Verteilung kann ich nichts anfangen. Kann mir jemand erklären, was ich da überhaupt zu tun hab oder mir ein Tutorial dazu empfehlen?

Comments

Also mir fällt nur die möglichkeit ein, dass Über die Standardisierung Z= (X-u) /o zu lösen. Und zwar so, dass du zunächst Z bestimmst. Das würde über deinen Wert P(X1≤55)=0,6915 funktionieren und nachschlagen in der Phi Tabelle und dann entsprechend nach Standardabweichung umstellen

Answer 1

$$P ( X \le 55 ) = 0.6915$$ ist äquivalent mit $$P \left( Z= \frac{X - \mu}{\sigma} \le \frac{ 55 - \mu}{\sigma} \right) = 0.6915$$

Jetzt ist aber $= \frac{X - \mu}{\sigma}$ Standardnormal verteilt, also $\mathcal{N}(0,1)$.

D.h. Erwartungswert = 0 und Standardabweichung = 1.

Diese Werte sind tabelliert, z.B. hier

https://de.wikipedia.org/wiki/Standardnormalverteilungstabelle und man liest für 0.6915 den Wert für $Z$ ab. Also $( z = 0.5$

Dann folgt aus $$\frac{ 55 - \mu}{\sigma} = 0.5$$ für $\sigma = 10$