Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung von Y sowie die Kenngrößen μ (Erwartungwert) und σ (Standardabweichung).

Question

Aufgabe:

Ein Medikament heilt Krankheit mit 80% Wahrscheinlichkeit. Drei Patienten werden damit behandelt. Die Anzahl der geheilten Patienten kann man als Zufallsgröße Y deuten.

a) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung von Y sowie die Kenngrößen μ (Erwartungwert) und δ (Standardabweichung).

b) Kontrollieren Sie die bisherigen Erkenntnisse (s. Infobox; Zitat steht unten), indem Sie die Heilung eines Patienten durch eine Zufallsgröße X mit den möglichen Werten 0 und 1 beschreiben.

Ansatz/Problem:

Ich weiß zwar, dass man hier mit der Binomialverteilung rechnen kann, allerdings sollen wir einen "anderen Weg" nutzen. So heißt es bei uns wie folgt:

Die Punktzahl beim Drehen eines Glücksrades ist eine Zufallsgröße X mit Erwartungswert μ und Standardabweichung δ. Wenn man es n-mal hintereinander dreht, ist die Punktsumme eine Zufallsgröße Y mit dem Erwartungswert n * μ und der Standardabweichung \( \sqrt{n} \) * δ. Man kann damit aus den Kenngrößen der Zufallsgröße X sofort die Kenngrößen der zugehörigen Summengrößen Y berechnen.

Die Information bringt mich allerdings nicht weiter; was wären überhaupt die Kenngrößen der Zufallsgröße X? Könnt ihr mir bitte helfen?

Ergänzung zu a) - Mir ist es nun gelungen, Werte zu berechnen. Allerdings bin ich mir nicht sicher, ob dies wirklich im Interesse der Aufgabe ist. Ich habe die Werte für die Fälle "keine Heilung", "eine Heilung", "zwei Heilungen" und "drei Heilungen" über die Pfadregel berechnet. D. h., ich habe zum Beispiel 1/5 * 1/5 * 1/5 = 1/125 für keine Heilung berechnet. Jedoch verstehe ich noch immer nicht, inwiefern hier nun die Zufallsgröße Y überhaupt wichtig ist? Ist meine Rechnung überhaupt richtig?

Comments

Habe mir erlaubt, das delta im Titel durch ein sigma zu ersetzen. Sieht zwar ähnlich aus, aber Standardabweichung ist immer sigma.

Answer 1

a) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung von Y sowie die Kenngrößen μ (Erwartungwert) und δ (Standardabweichung).

P(Y = 0) = 1/125
P(Y = 1) = 12/125
P(Y = 2) = 48/125
P(Y = 3) = 64/125

μ = 0·1/125 + 1·12/125 + 2·48/125 + 3·64/125 = 2.4
σ = √((0 - 2.4)^2·1/125 + (1 - 2.4)^2·12/125 + (2 - 2.4)^2·48/125 + (3 - 2.4)^2·64/125) = 0.6928

Für die Zufallsgröße X gilt

P(X = 0) = 0.2
P(X = 1) = 0.8

μ = 0·0.2 + 1·0.8 = 0.8
σ = √((0 - 0.8)^2·0.2 + (1 - 0.8)^2·0.8) = 0.4

Nun gilt ja eben genau das, was du kennenlernen sollst

Man kann damit aus den Kenngrößen der Zufallsgröße X sofort die Kenngrößen der zugehörigen Summengrößen Y berechnen."

Schau dir das jetzt mal an und sage wie du aus den Kenngrößen für X direkt auf die Kenngrößen für Y kommst.

Comments

Alles klar, vielen lieben Dank. Dann war mein Ansatz anscheinend doch nicht so falsch.

Können Sie mir aber bitte noch erklären,.wie sie auf folgendes Ergebnis kommen?

Für die Zufallsgröße X gilt

P(X = 0) = 0.2
P(X = 1) = 0.8

Woran machen Sie das fest bzw. von wo kommen diese Werte? Welchen Bezug haben die zur Aufgabe? Oder stammt die 0,8 von den zu Beginn beschriebenen 80%?

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Für eine Person gibt es nur zwei Möglichkeiten. Sie wird nicht geheilt (0) oder sie wird geheilt (1). Beide Wahrscheinlichkeiten sind laut Aufgabenstellung bekannt.

genau die 0.8 sind 80%

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Vielen Dank, dann ergibt das jetzt auch schon Sinn.

Allerdings stellt sich mir nun die Frage, wofür man das überhaupt berechnet? Inwiefern hat (...)

Für die Zufallsgröße X gilt

P(X = 0) = 0.2
P(X = 1) = 0.8

überhaupt einen Wert bzw. inwiefern sagt es etwas über a) aus? Das ist doch die Lösung zu b)? Inwiefern aber bezieht bzw. hat es überhaupt Bezug zur Zufallsgröße Y?

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Nun gilt ja eben genau das, was du kennenlernen sollst

"Man kann damit aus den Kenngrößen der Zufallsgröße X sofort die Kenngrößen der zugehörigen Summengrößen Y berechnen."

Schau dir das jetzt mal an und sage wie du aus den Kenngrößen für X direkt auf die Kenngrößen für Y kommst.

Was ist darunter genau zu verstehen? Mir ist klar, dass es noch einen alternativen weg gäbe; der wäre über den Binomialkoeffizienten.

Dann würde ich wie folgt rechnen: P( X = k )  =  \(\begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix}\) *  pk  * (1-p)n-k . Doch inwiefern bringt mich das nun zu der gesuchten Antwort?

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Nutze doch mal den in deiner Frage markierten Satz um die Kenngrößen der Zufallsgröße Y zu bestimmen.