Aloha :)
Wir gehen davon aus, dass die Dicke \(D\) der Beschichtung normalverteilt ist. Die Normalverteilung mit Mittelwert \(0\) und Standardabweichung \(1\) heißt Standard-Normalverteilung \(\Phi(z)\). Ihre Werte sind tabelliert oder können von Programmen berechnet werden. Der Wert \(\Phi(z)\) gibt an, mit welcher Wahrscheinlichkeit eine Standard-normalverteilte Zufallsvariable \(Z\) einen Wert kleiner oder gleich als \(z\) annimmt: \(\Phi(z)=P(Z\le z)\).
Wir holen folgende Infos aus der Aufgabenstellung:$$p(D<4)=0,05\quad;\quad p(D>6)=0,035$$Statt \(p(D>6)\) können wir auch die Wahrscheinlichkeitei \(p(D\le6)=1-p(D>6)\) angeben:$$p(D<4)=0,05\quad;\quad p(D\le6)=0,965$$Jetzt transformieren wir die Zufallsvariable Dicke \(D\) in eine Standard-normalverteilte Zufallsvariable \(Z\). Dazu ziehen wir den Erwartungswert \(\mu\) von \(D\) ab. Das führt zum Mittelwert \(0\) und übrig bleiben die Schwankungen um den Mittelwert \(0\). Diese Schwankungen werden noch normiert, indem man durch die Standardabweichung \(\sigma\) von \(D\) dividiert. Das liefert die Standardabweichung \(1\). Da wir \(\mu\) und \(\sigma\) hier nicht kennen, nehmen wir einfach die Variablen:$$\Phi\left(\frac{4-\mu}{\sigma}\right)=0,05\quad;\quad\Phi\left(\frac{6-\mu}{\sigma}\right)=0,965$$Ebenso wie die Standard-Normalverteilung \(\Phi\) ist auch die Umkehrfunktion \(\Phi^{-1}\) tabelliert:$$\frac{4-\mu}{\sigma}=\Phi^{-1}(0,05)=-1,644854\quad;\quad\frac{6-\mu}{\sigma}=\Phi^{-1}(0,965)=1,811911$$$$4-\mu=-1,644854\,\sigma\quad;\quad6-\mu=1,811911\,\sigma$$$$\mu-1,644854\,\sigma=4\quad;\quad\mu+1,811911\,\sigma=6$$Wir subtrahieren beide Gleichungen voneinander und finden \(\sigma\):$$(\mu+1,811911\,\sigma)-(\mu-1,644854\,\sigma)=6-4$$$$3,456764\,\sigma=2$$$$\sigma=0,5786\,\text{mm}$$Der Erwartungswert für die Dicke ist daher:$$\mu=4+1,644854\,\sigma=4,9517\,\text{mm}$$
