Aufgabe:
Überlegt jeweils, ob sich für k<0, k=0, k>0 etwas verändert.
Text erkannt:
(A) Nullstellen:
\( \begin{array}{ll} f_{e}(x)=0 & x^{4}+k x^{3}=0 \\ & x^{3}(x+k)=0 \\ & x^{3}=0 \quad v \quad x+k=0 \\ & x_{1,2,3}=0 \quad x_{4}=-k \end{array} \)
\( \underline{k}=0 \) : Vullst elle bei \( x=0 \)
\( k+0 \); Nuvestelle bei \( x=0 \) und \( x=-k \)
(2) Symodrie
\( \begin{array}{l} f_{k}(-x)=(-x)^{4}+k(-x)^{3}=x^{4}-k x^{3}+f_{k}(x) \quad \text { n. As } \\ -f_{k}(-x)=-\left(x^{4}-k x^{3}\right)=-x^{4}+k x^{3}+f_{k}(x) \quad \text { n. } 9 S \\ \end{array} \)
\( k=0 \quad f_{c}(-x)=f_{k}(x) \Rightarrow \) As zar \( y \)-Adise \( \underline{b} * 0 \quad \) coeder noch s obee!
(3) Unendicukeitsoerhatten
\( \lim \limits_{x \rightarrow \pm \infty} f_{2}(x)=+\infty \)
(4) Extrena
\( \begin{array}{ll} f_{e}{ }^{\prime}(x)=4 x^{3}+3 k x^{2} \\ f_{k}{ }^{\prime \prime}(x)=12 x^{2}+6 k x \\ \text { wotw. 3dg: } \quad f_{c}{ }^{\prime}(x)=0 \quad & \\ & 4 x^{2}+3 k x^{2}=0 \\ & x^{2}(4 x+3 k)=0 \\ & x^{2}=0 \vee 4 x+3 k=0 \\ & x_{42}=0 \quad x_{3}=-\frac{3 k}{4}=-\frac{3}{4} k \end{array} \)
hiver. Bdg: \( f_{e}^{\prime}(x)=0 \wedge f_{e}{ }^{\prime}(x) \geq 0 T_{4} \)
\( \begin{array}{l} f z^{4}\left(-\frac{3}{4} k\right)=12 \cdot\left(-\frac{3}{4} k\right)^{2}+6 k \cdot\left(-\frac{3}{4} k\right) \\ =12 \cdot \frac{9}{16} k^{2}-\frac{18}{4} k^{2}=\frac{27}{4} k^{2}-\frac{18}{4} R^{2} \\ =\frac{9}{4} k^{2}>0 T \mathbb{P} \text { far } R+0 \\ =0 \quad \text { fus } k=0 \\ \end{array} \)
\( y \text {-werte: } \quad \begin{array}{l} f_{k}(0)=0 \\ f_{2}\left(-\frac{3}{4} k\right)=\left(-\frac{3}{4} k\right)^{4}+k \cdot\left(-\frac{3}{4} k\right)^{3}=\frac{81}{256} k^{4}-\frac{27}{64} k^{4} \\ =\frac{81}{256} k^{4}-\frac{108}{256} k^{4}=-\frac{27}{256} k^{4} \end{array} \)
Text erkannt:
\( k=0 \) : bein coendeplt
\( k>0 \quad \omega_{R L}(0 \mid 0) \wedge \omega_{R}\left(-\frac{1}{2} k \mid-\frac{1}{16} k^{4}\right) \)
\( R<0 \quad W_{R R}(0 / 0) \wedge \omega_{R L}\left(-\frac{1}{2} k\left(-\frac{1}{16} k^{4}\right)\right. \)
