c) Zeigen Sie, dass sich alle Graphen der Funktionschar in zwei Punkten schneiden und bestimmen Sie die Koordinaten dieser beiden Punkte.
\( f_{k}(t)=0,5 t^{3}-1,5 k t^{2}+6 k t-6 t+50 \quad(k \in R) \)
1.)
\( f_{a}(t)=0,5 t^{3}-1,5 a t^{2}+6 a t-6 t+50 \quad(a \in R) \)
2.)
\( f_{b}(t)=0,5 t^{3}-1,5 b t^{2}+6 b t-6 t+50 \quad(b \in R) \)
\(0,5 t^{3}-1,5 a t^{2}+6 a t-6 t+50=0,5 t^{3}-1,5 b t^{2}+6 b t-6 t+50 \)
\(-1,5 a t^{2}+6 a t=-1,5 b t^{2}+6 b t \)
\(-1,5 a t^{2}+6 a t+1,5 b t^{2}-6 b t=0 \)
\(t*(-1,5 a t+6 a +1,5 b t-6 b)=0 \)
\(t_1=0 \) \( f_{k}(0)=50\)
\(-1,5 a t+6 a +1,5 b t-6 b=0 \)
\(-1,5 a t+1,5 b t=6b-6a \)
\( t*(1,5 b-1,5 a)=6b-6a \)
\( t_2=\frac{6b-6a}{1,5 b-1,5 a} =\frac{4b-4a}{ b-a}=4 \) \( f_{k}(4)=0,5* 4^{3}-6 *4+50=58\)
a) Untersuchen Sie die Funktionenschar auf Extrempunkte in Abhängigkeit von \( k \).
\( f´(t)=1,5 t^{2}-3 k t+6 k -6 \)
\( 1,5 t^{2}-3 k t+6 k -6=0 \)
\( 1,5 t^{2}-3 k t=6-6k |:1,5 \)
\( t^{2}-2 k t=4-4k \) quadratische Ergänzung
\( ( t- k )^2=4-4k+k^2=(k-2)^2 | \sqrt{~~} \)
1.) \( t_1=2k-2 \)
2.)\( t- k =-(k-2)=-k+2 \)
\( t_2=2 \)
Oft wird in diesem Zusammenhang nach der Ortslinie der Extrema gefragt:
\( t_1=2k-2 \) Auflösen nach k:
\( k=\frac{1}{2}t+1\) Einsetzen in \( f(t)=0,5 t^{3}-1,5 k t^{2}+6 k t-6 t+50 \)
\( o(t)=0,5 t^{3}-1,5 *(\frac{1}{2}t+1) t^{2}+6 *(\frac{1}{2}t+1) t-6 t+50 \)
\( o(t)=0,5 t^{3}-1,5 *(\frac{1}{2}t^{3}+ t^{2})+6 *(\frac{1}{2}t^2+t)-6 t+50 \)
\( o(t)=0,5 t^{3}-0,75t^{3}-1,5 t^{2}+3t^2+6t-6 t+50 \)
\( o(t)=-0,25 t^{3}+1,5 t^{2}+50 \)
Eine weitere Ortslinie gibt es bei t=2
