Beweis, dass sich zwei Graphen für m > -1 in drei Punkten schneiden

Question

Gegeben ist die Gerade g_m mit der Gleichung g_m(x) = mx, x∈ℝ, wobei m∈ℝ gilt.

Beweisen Sie: Genau für m > -1 schneidet die Gerade g_m den Graphen der Funktion h mit der Gleichung h(x) = 1/9 * x^3 - x, x∈ℝ, in drei Punkten.

Ich habe das wie folgt bewiesen und wollte fragen, ob das mal jemand überprüfen kann.

Gleichsetzen von h und g_m

$$  \frac{1}{9}x^{3} - x = mx $$

$$  \frac{1}{9}x^{3} - x - mx = 0 $$

$$  x * (\frac{1}{9}x^{2} - 1 - m) = 0 $$

$$ x_1 = 0 $$

$$ \frac{1}{9}x^{2} - 1 - m  = 0 $$

$$ \frac{1}{9}x^{2} = 1 + m $$

$$ x^{2} = 9 + 9m $$

$$ x_{2,3} =  ± \sqrt{9 + 9m} $$

Da der Ausdruck \( \sqrt{9 + 9m} \) für m > -1 eine relle Lösung ≠ 0 hat, schneiden sich die beiden Graphen für m > -1 in drei Punkten.

Answer 1

Das ist völlig ok wie du es gemacht hast.

Comments

Dankeschön!

Kannst du mir vielleicht sagen, ob so eine Aufgabenart schon zum Anforderungsbereich III zählt?(Die Aufgabe ist aus dem Jahr 2011 gk nrw ht3). Ich meine mich zu erinnern, dass du als Lehrer tätig warst/bist und das eventuell wissen könntest :)

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Ich bin als Nachhilfelehrer tätig. Ich würde das in den Anforderungsbereich 2 einordnen.

Reine Schnittpunkte bestimmen wäre Anforderungsniveau 1. Parameter bestimmen sodass es drei Lösungen gibt geht schon über die reine Reproduktion hinaus.

Aber ich merke teilweise dass in den Klausuren auch Abiklausuren die Anforderungsbereiche auch nicht einheitlich gleich zugeordnet sind.

Answer 2

Alles richtig. Ganz am Schluss würde ich schreiben:x_1/2=±√(9+9m) ist nur für 9+9m>0 reell.D.h. m>-1.

Comments

Vielen Dank! :-)

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reel ist es auch für 9 + 9m = 0. Aber dann ist die Lösung 0 und dann wäre 0 eine dreifache Nullstelle. Man will aber genau 3 Nullstellen haben.

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Stimmt. Das hätte ich schreiben müssen.

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eine relle Lösung ≠ 0 hat

das habe ich hiermit ja ausreichend gezeigt, oder?

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das habe ich hiermit ja hinreichend gezeigt, oder?

Ja. Das ist damit eindeutig gezeigt.