Bestimmen Sie - falls existent - alle kritischen Stellen x

Question

Aufgabe:

Gegeben ist die Funktion in zwei Veränderlichen \( f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} \) mit
\( f(x, y)=2 \cdot y+x \)
Bestimmen Sie - falls existent - alle kritischen Stellen, d.h. alle \( (x, y) \) mit \( f_{x}(x, y)=0 \) und \( f_{y}(x, y)=0 \).
Hinweis: Falls \( x \) oder \( y \) in den Antworten nicht nötig sind oder es keine Lösung gibt, verwenden Sie die Notation "[]".
\( \begin{array}{ll} f_{x}(x, y)=\square & \stackrel{!}{=} 0 \quad \Leftrightarrow \quad L_{1}=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid x=\square\right. \\ f_{y}(x, y)=\square & \stackrel{!}{=} 0 \quad \Leftrightarrow \quad L_{2}=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid x=\square\right. \end{array} \)
Die Menge an kritischen Stellen lautet also:
\( L_{1} \cap L_{2}=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid x=\square \quad, y=\right. \)

Könnte mir jemand hier helfen? Lösung + Weg wären Ideal ^^

Answer 1

Aloha :)

Die Funktionsgleichung$$f(x;y)=2y+x$$beschreibt eine Ebene, daher werden sich keine kritischen Stellen finden lassen. Wir prüfen das rechnerisch nach. An einem kritischen Punkt, muss der Gradient der Funktion verschwinden:$$\vec 0=\operatorname{grad}f(x;y)\stackrel!=\binom{1}{2}\quad\text{Widerspruch}$$Der Gradient ist konstant und von \(\vec 0\) verschieden.

Die Lösung wäre also:\(\quad x=[]\quad;\quad y=[]\)