0 Daumen
410 Aufrufe

Gegeben ist die Funktion in zwei Veränderlichen \( f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} \) mit
\( f(x, y)=x \cdot y . \)

Bestimmen Sie - falls existent - alle kritischen Stellen, d.h. alle \( (x, y) \) mit \( f_{x}(x, y)=0 \) und \( f_{y}(x, y)=0 \).

Hinweise:
- Falls es keine Lösung für \( x \) bzw. y gibt, verwenden Sie die Notation \( x=[] \) bzw. \( y= \) [].
- Falls \( x \) bzw. \( y \) beliebig gewählt werden, verwenden Sie einen freien Parameter, beispielsweise \( x=t \) bzw. \( y=s \).
\( \begin{array}{l} f_{x}(x, y)=\square \stackrel{!}{=} 0 \quad \Leftrightarrow \quad L_{1}=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid x=\right. \\ , y=\square \\ f_{y}(x, y)=\square \stackrel{!}{=} 0 \quad \Leftrightarrow \quad L_{2}=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid x=\right. \\ , y=\square \\ \end{array} \)

Die Menge an kritischen Stellen lautet also:
\( L_{1} \cap L_{2}=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid x=\square, y=\square\right. \)

 -------

Meine Lösung

Die Gradienten von f sind gegeben durch

fx = y
fy = x

\( \begin{array}{l} f_{x}(x, y)=y \stackrel{!}{=} 0 \quad \Leftrightarrow \quad L_{1}=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid x=0\right. \\ , y=0 \\ f_{y}(x, y)=x \stackrel{!}{=} 0 \quad \Leftrightarrow \quad L_{2}=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid x=0\right. \\ , y=0 \\ \end{array} \)



\( L_{1} \cap L_{2}=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid x=0, y=0 \right. \)


Ist das korrekt so?

Avatar von

nein

                         .

3 Antworten

+1 Daumen
 
Beste Antwort

Aloha :)

Der gefundene kritische Punkt \((0;0)\) ist richitg\(\quad\checkmark\)

Auf dem Weg dahin, hast du dich aber bei \(L_1\) und \(L_2\) vertan.


Die Bedingung \(f_x(x;y)\stackrel!=0\) schränkt nur die Werte für \(y\) ein, nicht die für \(x\):$$f_x(x;y)\stackrel!=0\implies y=0\implies L_1=\{(x;y)\in\mathbb R^2\big|\red{y=0}\}$$

Und die Forderung \(f_y(x;y)\stackrel!=0\) schränkt nur die Werte für \(x\) ein, nicht die für \(y\):$$f_y(x;y)\stackrel!=0\implies x=0\implies L_2=\{(x;y)\in\mathbb R^2\big|\green{x=0}\}$$

Erst die Elemente der Schnittmenge erfüllen beide Forderungen:$$L_1\cap L_2=\{(x;y)\in\mathbb R^2\big|\green{x=0}\;\land\;\red{y=0}\}=\{(0;0)\}$$

Und das sind die kritischen Punkte bzw. ist der kritische Punkt der Funktion.

Avatar von 152 k 🚀

Ich bin leicht verwirrt, wo habe ich genau denn Fehler gemacht. Es tut mir leid ich bin grade echt leicht überfordert :)


Die kästen sind ja wo meine Lösung reinkommt

\( \begin{array}{l} f_{x}(x, y)=\square \stackrel{!}{=} 0 \quad \Leftrightarrow \quad L_{1}=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid x=\right. \\ , y=\square \\ f_{y}(x, y)=\square \stackrel{!}{=} 0 \quad \Leftrightarrow \quad L_{2}=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid x=\right. \\ , y=\square \\ \end{array} \)

----------

Meine Lösung

\( \begin{array}{l} f_{x}(x, y)=y\stackrel{!}{=} 0 \quad \Leftrightarrow \quad L_{1}=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid x=0\right. \\ , y=0 \\ f_{y}(x, y)=x \stackrel{!}{=} 0 \quad \Leftrightarrow \quad L_{2}=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid x=0\right. \\ , y=0 \\ \end{array} \)


tut mir leid falls ich zu doof bin um es zu sehen

Falls \( x \) bzw. \( y \) beliebig gewählt werden, verwenden Sie einen freien Parameter, beispielsweise \( x=t \) bzw. \( y=s \).
0 Daumen

Ich weiß nicht genau warum @Gast az0815 nein gesagt hat.

Meiner Meinung nach ist die kritische Stelle (x, y) = (0, 0) vollkommen richtig.

Avatar von 489 k 🚀

Ja, aber der Weg dahin nicht; und der soll ja offenbar auch in Form einiger Wegmarken eingegeben werden.

Ohje mist... was genau ist dann falsch wenn ich Fragen darf

Dann sag doch das die Bedingung x = 0 nur den Wert x vorgibt aber den Wert von y erstmal nicht weiter bestimmt und das die Bedingung y = 0 nur den Wert von y vorgibt und den Wert von x nicht weiter bestimmt.

Ein pauschales nein hilft einer fragenden Person vermutlich nicht so viel weiter oder?

0 Daumen

Diese Einsetzungen sind richtig: $$f_{x}(x,\ y)=y \stackrel{!}{=} 0 \quad \Leftrightarrow \quad L_{1}=\left\{(x,\ y) \in \mathbb{R}^{2} \mid x=t,\ y=0\right\} \\ f_{y}(x,\ y)=x \stackrel{!}{=} 0 \quad \Leftrightarrow \quad L_{2}=\left\{(x,\: y) \in \mathbb{R}^{2} \mid x=0,\ y=s\right\}$$

Avatar von 27 k

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage