Bestimmen der - falls existent - alle kritischen Stellen

Question

Gegeben ist die Funktion in zwei Veränderlichen \( f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} \) mit
\( f(x, y)=x \cdot y . \)

Bestimmen Sie - falls existent - alle kritischen Stellen, d.h. alle \( (x, y) \) mit \( f_{x}(x, y)=0 \) und \( f_{y}(x, y)=0 \).

Hinweise:
- Falls es keine Lösung für \( x \) bzw. y gibt, verwenden Sie die Notation \( x=[] \) bzw. \( y= \) [].
- Falls \( x \) bzw. \( y \) beliebig gewählt werden, verwenden Sie einen freien Parameter, beispielsweise \( x=t \) bzw. \( y=s \).
\( \begin{array}{l} f_{x}(x, y)=\square \stackrel{!}{=} 0 \quad \Leftrightarrow \quad L_{1}=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid x=\right. \\ , y=\square \\ f_{y}(x, y)=\square \stackrel{!}{=} 0 \quad \Leftrightarrow \quad L_{2}=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid x=\right. \\ , y=\square \\ \end{array} \)

Die Menge an kritischen Stellen lautet also:
\( L_{1} \cap L_{2}=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid x=\square, y=\square\right. \)

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Meine Lösung

Die Gradienten von f sind gegeben durch

fx = y
fy = x

\( \begin{array}{l} f_{x}(x, y)=y \stackrel{!}{=} 0 \quad \Leftrightarrow \quad L_{1}=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid x=0\right. \\ , y=0 \\ f_{y}(x, y)=x \stackrel{!}{=} 0 \quad \Leftrightarrow \quad L_{2}=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid x=0\right. \\ , y=0 \\ \end{array} \)

\( L_{1} \cap L_{2}=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid x=0, y=0 \right. \)

Ist das korrekt so?

Comments

nein

                         .

Answer 1

Aloha :)

Der gefundene kritische Punkt \((0;0)\) ist richitg\(\quad\checkmark\)

Auf dem Weg dahin, hast du dich aber bei \(L_1\) und \(L_2\) vertan.

Die Bedingung \(f_x(x;y)\stackrel!=0\) schränkt nur die Werte für \(y\) ein, nicht die für \(x\):$$f_x(x;y)\stackrel!=0\implies y=0\implies L_1=\{(x;y)\in\mathbb R^2\big|\red{y=0}\}$$

Und die Forderung \(f_y(x;y)\stackrel!=0\) schränkt nur die Werte für \(x\) ein, nicht die für \(y\):$$f_y(x;y)\stackrel!=0\implies x=0\implies L_2=\{(x;y)\in\mathbb R^2\big|\green{x=0}\}$$

Erst die Elemente der Schnittmenge erfüllen beide Forderungen:$$L_1\cap L_2=\{(x;y)\in\mathbb R^2\big|\green{x=0}\;\land\;\red{y=0}\}=\{(0;0)\}$$

Und das sind die kritischen Punkte bzw. ist der kritische Punkt der Funktion.

Comments

Ich bin leicht verwirrt, wo habe ich genau denn Fehler gemacht. Es tut mir leid ich bin grade echt leicht überfordert :)

Die kästen sind ja wo meine Lösung reinkommt

\( \begin{array}{l} f_{x}(x, y)=\square \stackrel{!}{=} 0 \quad \Leftrightarrow \quad L_{1}=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid x=\right. \\ , y=\square \\ f_{y}(x, y)=\square \stackrel{!}{=} 0 \quad \Leftrightarrow \quad L_{2}=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid x=\right. \\ , y=\square \\ \end{array} \)

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Meine Lösung

\( \begin{array}{l} f_{x}(x, y)=y\stackrel{!}{=} 0 \quad \Leftrightarrow \quad L_{1}=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid x=0\right. \\ , y=0 \\ f_{y}(x, y)=x \stackrel{!}{=} 0 \quad \Leftrightarrow \quad L_{2}=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid x=0\right. \\ , y=0 \\ \end{array} \)

tut mir leid falls ich zu doof bin um es zu sehen

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Falls \( x \) bzw. \( y \) beliebig gewählt werden, verwenden Sie einen freien Parameter, beispielsweise \( x=t \) bzw. \( y=s \).

Answer 2

Ich weiß nicht genau warum @Gast az0815 nein gesagt hat.

Meiner Meinung nach ist die kritische Stelle (x, y) = (0, 0) vollkommen richtig.

Comments

Ja, aber der Weg dahin nicht; und der soll ja offenbar auch in Form einiger Wegmarken eingegeben werden.

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Ohje mist... was genau ist dann falsch wenn ich Fragen darf

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Dann sag doch das die Bedingung x = 0 nur den Wert x vorgibt aber den Wert von y erstmal nicht weiter bestimmt und das die Bedingung y = 0 nur den Wert von y vorgibt und den Wert von x nicht weiter bestimmt.

Ein pauschales nein hilft einer fragenden Person vermutlich nicht so viel weiter oder?

Answer 3

Diese Einsetzungen sind richtig: $$f_{x}(x,\ y)=y \stackrel{!}{=} 0 \quad \Leftrightarrow \quad L_{1}=\left\{(x,\ y) \in \mathbb{R}^{2} \mid x=t,\ y=0\right\} \\ f_{y}(x,\ y)=x \stackrel{!}{=} 0 \quad \Leftrightarrow \quad L_{2}=\left\{(x,\: y) \in \mathbb{R}^{2} \mid x=0,\ y=s\right\}$$