Lineare Un(Abhängigkeit) bei Matrix Folgen und Kern + Basis bestimmen

Question

Moinsen ich stehe gerade total auf dem LA Schlauch ich weiß wie Man Lineare Un(abhängigkeit) checkt aber verstehe nicht wie ich das Prinzip auf Aufgabe 1 anwenden soll warscheinlich hilft mir da schon ein kleiner Hinweis bzw ein erstes Beispiel

und zur zweiten Aufgabe da bin ich bis zur Auflösung des LGS gekommen das ich die Fom hatte

\( \left(\begin{array}{rrrr|r}1 & 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 2 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right) \)

und danach wusste ich leider nicht mehr weiter :(

Aufgabe 1
Untersuchen Sie die Folge \( \left(\left(\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 3 & 4\end{array}\right),\left(\begin{array}{ll}5 & 6 \\ 7 & 8\end{array}\right),\left(\begin{array}{ll}9 & 0 \\ 1 & 2\end{array}\right),\left(\begin{array}{ll}3 & 4 \\ 5 & 6\end{array}\right),\left(\begin{array}{ll}7 & 8 \\ 9 & 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{ll}4 & 7 \\ 1 & 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{ll}0 & 8 \\ 1 & 5\end{array}\right)\right) \) auf lineare Unabhängigkeit.
Aufgabe 2
Bestimmen Sie Basen für \( \operatorname{Bild}(A) \) und für \( \operatorname{Kern}(A) \), wobei
\( A=\left(\begin{array}{cccc} 1 & 1 & 2 & 1 \\ 3 & 1 & 4 & 4 \\ 4 & -4 & 0 & 8 \end{array}\right) \)

Answer 1

Wenn du bei dem Ansatz fpr den kern gekommen bist auf

\( \left(\begin{array}{rrrr|r}1 & 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 2 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right) \)

Dann kannst du ja sagen: x3=s und x4=t sind beliebiog

==>  2x2 = t-2s also x2= 0,5t - s

und x1 +x2 +2s+t = 0

==> x1 +0,5t - s +2s+t = 0

x1= -1,5t -s also

\( \vec{x}=\begin{pmatrix} -1,5t - s\\0,5t-s\\s\\t\end{pmatrix} \)

\(=t\begin{pmatrix} -1,5\\0,5\\0\\1\end{pmatrix}   + s\begin{pmatrix} -1\\-1\\1\\0\end{pmatrix} \)

Also \(\begin{pmatrix} -1,5\\0,5\\0\\1\end{pmatrix}  , \begin{pmatrix} -1\\-1\\1\\0\end{pmatrix} \)

eine Basis des Kerns.

==>  dim(Bild) = 2 , also z.B. die ersten beiden Spalten von A eine Basis vom Bild.

Comments

Vielen Vielen dank jetzt habe ichs gecheckt

:))) Hav a nice day