Konvergiert diese Reihe? Σ 1/(3^n - 2^n)

Question

Konvergiert diese Reihe?

\( \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{3^{n}-2^{n}} \)

Σ 1/(3^n - 2^n)

Answer 1

ein leichter Induktionsbeweis zeigt, dass \(3^n>2^{n+1}\) für alle \(n>1\) gilt. Daraus folgt \(3^n-2^n>2^n\). Daher ist \(\sum\limits_{n=2}^\infty\dfrac1{2^n}\) Majorante von \(\sum\limits_{n=2}^\infty\dfrac1{3^n-2^n}\) und daraus folgt Konvergenz.

Answer 2

Quotientenkriterium für Konvergenz.

a_n+1 / a_n = (1/(3^{n+1}+ 2^{n+1}) )/ (1/(3^n - 2^n))      |Doppelbruch auflösen

= (3^n - 2^n) /( 3^{n+1} - 2^{n+1}) ≤q<1 zu zeigen für Konvergenz.

Vorbemerkung:

3^{n+1} - 2^{n+1} = 3*3^n - 2*2^n > 3*3^n - 3*2^n = 3*(3^n - 2^n)>0

Wenn man nun den Nenner verkleinert, wird der Bruchterm grösser.

Daher: 

 

a_n+1 / a_n = (3^n - 2^n) /( 3^{n+1} - 2^{n+1})

< (3^n - 2^n)/(3(3^n - 2^n)) = 1/3 = q ≤ 1 qed. (Quotientenkriterium).

Vgl: https://de.wikipedia.org/wiki/Quotientenkriterium

Comments

Mit dem Quotientenkriterium hatte ich es auch versucht, nur die letzte Abschätzung hat mir gefehlt.

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Bitte. Gern geschehen! (ohne Gewähr, hab so was länger nicht mehr gemacht)

Answer 3

du hast im Nenner einen unbestimmten Ausdruck. Nämlich ∞ - ∞ und das ist nicht definiert!

Comments

Okay

Also wäre diese Klausuraufgabe gar nicht lösbar?

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Was??? Wo soll denn da was nicht definiert sein?

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Natürlich ist das definiert.

Hier würde man wohl mit dem Majorantenkriterium rangehen.

Bin da nicht mehr ganz so fit, aber ich vermute ein

$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n}$$

wird es tun. Das konvergiert nämlich und damit wohl auch das Deinige :).

Grüße

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Ah das ist ja einfach wenn man es weiß!

Vielen Dank für die schnelle Antwort :)

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Ist das nicht eine Minorante? Aber mit einer konvergenten Minorante kann man ja gar nichts zeigen.

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Sry ich hatte 1/2^n gemeint (korrigiert). Das müsste dann das Majoratenkriterium erfüllen :).

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Ja, tut es.
Man könnte auch einfach das Quotienkriterium anwenden.

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"Was??? Wo soll denn da was nicht definiert sein?"

 

Unendlich - Unendlich ist ein undefinierter Ausdruck. Oder willst du mir das  Gegenteil beweisen? Dann kann ich meine Formelsammlung und Vorlesungsmitschriften nämlich umschreiben!

Das die Aufgabe nicht lösbar ist, habe ich nie geschrieben!

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Ja, Unendlich - Unendlich ist undefiniert.

Aber an welcher Stelle rechnet man hier Unendlich - Unendlich?

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Im Nenner

3^∞  - 2^∞   = ∞ - ∞

Wo ist denn jetzt das Problem? Ich habe auf das Problem hingewiesen.

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Das Problem ist, dass es kein Problem gibt. Im Nenner steht \(3^n-2^n\), wobei n eine natürliche Zahl ist. Ich weiß immer noch nicht, wo man da \(\infty - \infty\) rechnen sollte.

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Ich habe mich auf den Endwert bezogen.

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Was denn für ein Endwert?

\(\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{3^n-2^n}=\lim\limits_{k\to\infty}\sum\limits_{n=1}^k \frac{1}{3^n-2^n} \)

D.h. man summiert sozusagen unendlich viele Summanden auf. Da gibt es keinen Endwert.

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Dann habe ich da was mit den limes verwechselt.