Aloha :)
Wir sollen das folgende Integral bestimmen$$I=\iint\limits_By\,dx\,dy$$wobei der Integrationsbereich gegeben ist durch die Menge$$B=\{(x;y)\in\mathbb R^2\,\big|\,x^2+y^2\le1\;\land\;y\ge0\}$$
zu 1) Zuerst nach x, dann nach y integrieren.
Wir integrieren zuerst nach \(x\) und halten dabei \(y\) auf einem konstanten Wert fest. Wegen \(y\ge0\) und \(y^2\le1\) kann dieser konstante Wert \(y\in[0;1]\) sein. Bei fest gewähltem \(y\) muss \(x\) folgende Bedingung erfüllen:$$x^2+y^2\le1\implies x^2\le1-y^2\implies|x|\le\sqrt{1-y^2}\implies x\in[-\sqrt{1-y^2};\sqrt{1-y^2}]$$Damit können wir das gesuchte Integral konkretisieren:$$I=\int\limits_{y=0}^1\;\;\int\limits_{x=\sqrt{1-y^2}}^{\sqrt{1-y^2}}y\,dx\,dy=\int\limits_{y=0}^1\left[yx\right]_{x=\sqrt{1-y^2}}^{\sqrt{1-y^2}}dy=\int\limits_{y=0}^1\left(y\sqrt{1-y^2}-y\left(-\sqrt{1-y^2}\right)\right)dy$$$$\phantom I=\int\limits_{y=0}^12y\sqrt{1-y^2}\,dy=\int\limits_{y=0}^1 2y\left(1-y^2\right)^{\frac12}dy=\left[-\frac{(1-y^2)^{\frac32}}{\frac32}\right]_{y=0}^1=\frac23$$
zu 2) Zuerst nach y, dann nach x integrieren.
Nun müssen wir zuerst nach \(y\) integrieren und dabei \(x\) festhalten. Wegen \(x^2\le1\) gilt \(x\in[-1;1]\). Bei fest gewähltem \(x\) gilt dann für \(y\):$$x^2+y^2\le1\implies y^2\le1-x^2\stackrel{(y\ge0)}{\implies} y\in[0;\sqrt{1-x^2}]$$Damit lautet das Integral nun so:$$I=\int\limits_{x=-1}^1\int\limits_{y=0}^{\sqrt{1-x^2}} y\,dy\,dx=\int\limits_{x=-1}^1\left[\frac{y^2}{2}\right]_{y=0}^{y=\sqrt{1-x^2}}dx=\int\limits_{x=-1}^1\frac12(1-x^2)\,dx=\left[\frac x2-\frac{x^3}{6}\right]_{x=-1}^1$$$$\phantom I=\left(\frac12-\frac16\right)-\left(-\frac12+\frac16\right)=1-\frac13=\frac23$$
