Was ist das Ergebnis des Integrals?

Question

Aufgabe:

Aufgabe siehe Problem.

Problem/Ansatz:

Ich dachte, dass man hier die partielle Integration anwenden könnte. Für die untere Grenze wird ja alles 0, da x^2 bzw. 2x mit Sinus und Cosinus zu null führen. Es bleibt also Wurzel von Pi, das man ja zu x^1/2 schreiben kann. Durch den Exponent ergibt das ja dann Pi. Da Sinus von pi 0 ergibt, verbleibt nur noch - (-1) = 1.

Hier vielleicht noch die Frage: Verwende ich partielle Integration nur bei der Integration (ergibt Sinn) und die Produktregel nur beim Ableiten (das ist die eigentliche Frage)?

Vielen Dank schon mal!

Text erkannt:

\( \begin{array}{l}\left.\int \limits_{0}^{\sqrt{\pi}} \begin{array}{c}-1 \\ 0(x)\end{array} f^{2}\right) \cdot 2 x d x=1 \\ \left.\sin \left(x^{2}\right) \cdot x^{2}\right|_{0} ^{\sqrt{\pi}}-\int \limits_{0}^{\sqrt{\pi}} x^{2} \cdot 2 x \cdot \cos \left(x^{2}\right) \\ \sin (\pi) \cdot \pi-\pi \cdot 2 \cdot \pi^{\frac{1}{\alpha}} \cdot \cos (\pi) \\ 0 \\ 11 \\ -1\end{array} \)

Answer 1

Aloha :)

Gesucht ist$$I=\int\limits_0^{\sqrt\pi}\sin(x^2)\cdot 2x\,dx$$Hier erkennt man sofort, dass \(2x\) die Ableitung von \(x^2\) ist, also die innere Ableitung der Funktion \(\sin(x^2)\). So etwas schreit immer ganz lauf nach Substitution:$$u\coloneqq x^2\implies \pink{\frac{du}{dx}=2x}\quad;\quad \green{u(0)=0}\quad;\quad \color{blue}u(\sqrt\pi)=\pi$$Damit erhalten wir:$$I=\int\limits_{\green 0}^{\color{blue}\pi}\sin(u)\cdot\pink{\frac{du}{dx}}\,dx=\int\limits_0^\pi\sin(u)\,du=\left[-\cos(u)\right]_0^\pi=-\cos(\pi)+\cos(0)=2$$

Answer 2

Da 2x die Ableitung von x^2 ist, kommt man hier ohne Rechnung schnell ans Ziel ohne partielle Integration:

F(x)= -cos(x^2)+C

Du musst nur die Ableitungen von sin(term) und cos(term) kennen.

Comments

Aber könnte ich auch die partielle Ableitung nehmen oder muss ich den anderen Weg gehen?

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Müssen musst du nichts.

Es ist umständlicher.

Die Lösung ist 2.

https://www.wolframalpha.com/input?i=integrate+2x*sin%28x%5E2%29+from+0+to+pi%5E0.5

Also stimmt dein Ansatz nicht.

Substitution wäre der Weg:

https://www.integralrechner.de/