Warum ist folgende Aussage falsch?

Question

Seien n,m ≥ 1, sei K ein Körper, und seien A,B ∈  K^(m×n) Matrizen,
für welche die linearen Gleichungssysteme A · x = 0 und B · x = 0
dieselben Lösungen besitzen.
(A) Es existiert C ∈ K^(n×n) so, daß B = A · C gilt. falsch
(B) Es existiert C ∈  K^(m×m) so, daß B = C · A gilt. richtig

Wieso ist A falsch? Würde man konkrete Werte für m bzw. n wählen würde die Mutiplikation ja funktionieren oder?

Answer 1

Wieso ist A falsch?

Betrachte mal

$$A:=\begin{pmatrix}1  & 0&0 \\ 0&1&0 \\ 0&0&0\end{pmatrix}\qquad B:=\begin{pmatrix}1&0&0 \\ 0&1&0\\1&1&0\end{pmatrix}$$

Comments

A und B sind aber "mxn" Matrizen? Wieso sollte ich dann Matrizen dieser Art betrachten?

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Steht das nicht in der Aufgabe?

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"seien A,B ∈  K^(m×n) Matrizen". Also ich hätte es schon so verstanden, dass es Matrizen mit unterschiedlicher Spalten und Zeilenanzahl sind. C soll ja eine nxn Matrix sein, sprich gleiche Spalten sowie Zeilenanzahl

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Nach allgemeinen mathematischen Brauch muss m=n explizit ausgeschlossen werden, wenn es ausgeschlossen sein soll.

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Ok, das habe ich nicht beachtet. Dann ist es logisch, dass es falsch isr

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Warum ist es dann "logisch"?

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Ich hab mich vertan. Ich dachte ich nehme an, dass C eine 3x3 Matrix ist und multipliziere sie mit A und hätte eine Matrix herausbekommen die nicht der Struktur von B entspricht. Leider ist dies doch nicht der Fall

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Wieso soll dann aber b) richtig sein? Hat das einfach was damit zu tun, dass die Matrizen nicht invertierbar sind?