Simple Mengeninklusions Aufgabe

Question

Aufgabe:

(i) f(U ∩ V ) ⊂ f(U) ∩ f(V ),
(ii) f(U ∪ V ) = f(U) ∪ f(V ),
(iii) f(A \ U) ⊃ f(A) \ f(U),
(iv) f^−1(U1 ∩ V1) = f^−1(U1) ∩ f^−1(V1),
(v) f−1(U1 ∪ V1) = f−1(U1) ∪  f−1(V1),

Problem/Ansatz:

… Hallo, eigentlich wüsste ich ungefähr wie man diese Aufgaben löst. Man sucht sich ein beliebiges x und formt es so um damit quasi das andere dasteht -> Teilmengeninklusion. Nur leider fällt mir sowas simples ein wenig schwer, denn selbst wenn ich etwas einzeichne ich manchmal nicht verstehe warum es bspw. nur ein Teilmenge ist und da keine Gleichheit herrscht.

Hätte jmd. vielleicht ein Tipp für das Lösen solcher Aufgaben.

LG

Daniel

Answer 1

z.B.   f(U ∩ V ) ⊂ f(U) ∩ f(V )

Sei y∈ f(U ∩ V )

==> ∃x∈U ∩ V mit f(x)=y

Da x∈U und x∈V ==>  f(x)∈ f(U) und f(x)∈ f(V)

              ==>  y∈ f(U) und y∈ f(V)

                                 ==>  y∈ f(U) ∩ f(V )

Gleichheit gilt hier nicht; denn du kannst dir ja mal ein

Beispiel ausdenken, bei dem es ein y∈ f(U) ∩ f(V ),

das 2 verschiedene Urbilder hat, eines in U und eines in V.

Das geht, wenn f nicht injektiv ist.