Induktionsbeweis mit einer Reihe

Question

Aufgabe:

\(\displaystyle \sum\limits_{k=1}^{\infty}{n}  \frac{1}{k+2} - \frac{1}{k+3} = \frac{1}{3} - \frac{1}{n+3} \)

Problem/Ansatz:

Moin, wie kann ich das beweisen mit vollständiger Induktion

Answer 1

Hallo

das ist eine sog. Teleskopsumme. Sollst du das wirklich mit Induktion zeigen? besser schreibe es als Differenz von zwei Summen, dann ändere die Summation, so dass sich 2 gleiche Summen aufheben und nur die 2 Randsummanden übrig bleiben.

Mit Induktion: rechne nach dass es für n=1 gilt. setze voraus, dass es für n gilt, dann addiere den Term für n+1 und zeige dass sich die Formel 1/3-1/(n+1+3) ergibt.

lul

Comments

Ja ich soll das wirklich mit Induktion beweisen. Aber ich habe auch nicht ganz verstanden was du mit der Differenz der Brüche meinst, das mit der Differenz war eine Teilaufgabe davor.

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Hallo

die Induktion ist wirklich leicht, einfach nur den  n+1 ten Summanden addieren

zur Differenz schrieb mal die 2 Summen mit Pünktchen auf

dann hast du (1/3+1/4+...+1/(n+2)) - (1/4+1/5+....+1/(n+3))

schreib die erste Summe als1/3+∑  die zweite als ∑ +1/(n+3)

lul