Text
Zeige für k= (0,1,...n).1/k! - n!k!(n−k)!nk \frac{n!}{k!(n-k)!n^k} k!(n−k)!nkn!≤(k−1)2k!n \frac{(k-1)^2}{k!n} k!n(k−1)2
Problem/Ansatz:
Hi, ich habe versucht diese Aufgabe per Induktion zu lösen, aber ich komme nicht weiter, ich finde einfach keine geeignete Abschätzung. Über Hilfe würde ich mich freuen:)
Da ist etwas merkwürdig. Die linke Seite ist, soweit ich sie entziffern kann negativ. Die Ungleichung ist der trivial.
Handelt es sich vielleicht um einen Zwischenschritt für eine andere Überlegung? Was ist dann das Originalproblem?
Danke für die Antwort:)
Entschuldigung, ich habe die Aufgabe nicht richtig hingeschrieben. Vor dem linken Therm soll noch ein 1/(k!) - ... stehen. Der linke therm ist aufjedenfall jetzt größer gleich null, dass war auch eine Aufgabe zu beweisen.
Viele Grüße
Wi können also die ganze Ungleichung auf beiden Seiten mi k! multiplizieren und es verschwindet.
Jetzt folgt die Ungleichung aus der Bernoulli-Ungleichung:
n!(n−k)!nk=n(n−1)⋯(n−(k−1))n⋯n⋯n=nn(1−1n)⋯(1−k−1n)≥(1−k−1n)k−1≥1−(k−1)2n\frac{n!}{(n-k)!n^k}=\frac{n(n-1) \cdots (n-(k-1))}{n\cdots n \cdots n}=\frac{n}{n} (1-\frac{1}{n}) \cdots (1-\frac{k-1}{n})\\ \quad \geq \left(1-\frac{k-1}{n}\right)^{k-1}\geq 1-\frac{(k-1)^2}{n}(n−k)!nkn!=n⋯n⋯nn(n−1)⋯(n−(k−1))=nn(1−n1)⋯(1−nk−1)≥(1−nk−1)k−1≥1−n(k−1)2
Super, vielen, vielen Dank für die Hilfe!
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