Aufgabe:
Die Fibonacci-Folge \(c_{n}\) \(n\in\mathbb{N}_0\) ist rekursiv definiert durch$$c_0=c_1=1,\quad c_{n+1} = c_{n} + c_{n-1} \quad \text{für}\space n\in\mathbb{N}$$
Wir setzen \(x_n = \frac{c_{n+1}}{c_n}\) \((n \in\mathbb{N}_0)\). Zeigen Sie:
(a) \(x_{n+1} = 1+ \frac{1}{x_n} \) für alle n ∈ ℕ0.
(b) Mit \(g=\frac{1+\sqrt{5}}{2} \) gilt:
\(|x_{n}-g| \le \frac{1}{g^{n+1}}\) für alle \(n\in\mathbb{N}_0\), und \(x_n\to g\) für \(n\to\infty\).
Hinweis: Induktion! Beachte dabei: \( g = 1+\frac{1}{g} \) .
(c) Die Potenzreihe \(\sum\limits_{n=0}^{\infty} c_{n}z^{n}\) hat den Kovergenzradius \(R=\frac{1}{g}\)
(d) Für z ∈ ℂ mit |z|< \( \frac{1}{g} \) gilt:$$\sum\limits_{n=0}^{\infty} c_{n}z^{n} = \frac{1}{1-z-z^2}$$Hinweis: Multiplizieren Sie beide Seiten mit \((1 − z − z^2)\) und fassen Sie gleiche Potenzen von \(z\) zusammen.
Problem/Ansatz:
Zu (a): Ich hätte gesagt, dass man für xn \( \frac{cn+1}{cn} \) einsetzt und damit versucht weiterzurechnen.
Zu (b): Der Hinweis Induktion bringt mir leider nichts, weil ich nicht, weiß, wie ich durch Induktion hier zum Ergebnis kommen soll.
Zu (c): Ich glaube, ich muss den Konvergenzradius berechnen und das Ergebnis vergleichen
zu (d): Ich weiß leider nicht, wie ich das zeigen kann.
Kann mir da jemand behilflich sein? Danke im Voraus.
Euer Winterzwerg200
