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Aufgabe:

Sei f : ℝ→ℝ eine Funktion beschrieben durch f(x) = k=1naksin(kx) \sum\limits_{k=1}^{n}{a_k \sin(kx)} mit ak ∈ ℝ ∀k ∈ {1,…, n} und es gelte |f(x)| ≤ |sin (x)| für alle x ∈ ℝ. Zeigen Sie :  | k=1nkak \sum\limits_{k=1}^{n}{ka_k} | ≤1.

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Wenn

f(x)=k=1naksin(kx)f(x)=\sum_{k=1}^na_k\sin(kx)

dann folgt:

f(0)=0,f(x)=k=1nkakcos(kx),f(0)=k=1nkakf(0)=0, \quad f'(x)=\sum_{k=1}^nka_k\cos(kx), \quad f'(0)=\sum_{k=1}^nka_k

Wegen

f(x)f(0)xsin(x)x1|\frac{f(x)-f(0)}{x}|\leq \frac{|\sin(x)|}{|x|} \leq 1

folgt f(0)1|f'(0)| \leq 1, also die Behauptung

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