Aufgabe:
Sei f : ℝ→ℝ eine Funktion beschrieben durch f(x) = ∑k=1naksin(kx) \sum\limits_{k=1}^{n}{a_k \sin(kx)} k=1∑naksin(kx) mit ak ∈ ℝ ∀k ∈ {1,…, n} und es gelte |f(x)| ≤ |sin (x)| für alle x ∈ ℝ. Zeigen Sie : | ∑k=1nkak \sum\limits_{k=1}^{n}{ka_k} k=1∑nkak | ≤1.
Wenn
f(x)=∑k=1naksin(kx)f(x)=\sum_{k=1}^na_k\sin(kx)f(x)=k=1∑naksin(kx)
dann folgt:
f(0)=0,f′(x)=∑k=1nkakcos(kx),f′(0)=∑k=1nkakf(0)=0, \quad f'(x)=\sum_{k=1}^nka_k\cos(kx), \quad f'(0)=\sum_{k=1}^nka_kf(0)=0,f′(x)=k=1∑nkakcos(kx),f′(0)=k=1∑nkak
Wegen
∣f(x)−f(0)x∣≤∣sin(x)∣∣x∣≤1|\frac{f(x)-f(0)}{x}|\leq \frac{|\sin(x)|}{|x|} \leq 1∣xf(x)−f(0)∣≤∣x∣∣sin(x)∣≤1
folgt ∣f′(0)∣≤1|f'(0)| \leq 1∣f′(0)∣≤1, also die Behauptung
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