Zeige: f hat eine Umkehrfunktion f^{-1}

Question

Aufgabe:

Es sei \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) surjektiv und erfülle

\(\displaystyle \frac{f(x)-f(y)}{x-y}>0 \quad \text { für alle } x, y \in \mathbb{R}, x \neq y \text {. } \)

Zeige: \( f \) hat eine Umkehrfunktion \( f^{-1} \).

Problem/Ansatz

leider weiß ich bei der Aufgabe nicht, wie ich anfangen soll und finde keinen Ansatz. Vielen Dank im Voraus

Comments

Der Quotient ist doch die Sekantensteigung. Wenn die überall positiv ist, was folgt dann für das Verhalten von f?

Answer 1

Aus \(\frac{f(x)-f(y)}{x-y}>0\) für \(x\neq y\) kannst du schließen:

\(x\neq y\Rightarrow f(x)\neq f(y)\), also ,,,

Answer 2

Du mussst nur noch zeigen, dass f injektiv ist. Denn dann ist f bijektiv und hat somit eine Umkehrfunktion.

f ist injektiv genau dann per Definition, wenn gilt

 \(x\neq y \Rightarrow f(x) \neq f(y)\).

Sei also \(x\neq y\). Ohne Beschränkung der Allgemeinheit können wir auch annehmen, dass \(y< x\) ist (andernfalls benenne ich die Zahlen einfach um).

Nun gilt:

\(\frac{f(x)-f(y)}{x-y}>0 \stackrel{x-y>0}{\Rightarrow} f(x) - f(y) > x-y > 0 \Rightarrow f(x) > f(y) \) also \(f(x) \neq f(y)\).

Fertig.

Comments

Einfacheres Argument: Wenn ein Bruch \(\neq 0 \) ist, dann ist

sein Zähler \(\neq 0\).

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@ermanus
Döt stümmt. Danke für den Hinweis.

Wilhelm Busch hätte jetzt gesagt:
"Dummheit, die man bei andern sieht, wirkt meist erhebend auf's Gemüt." :-D

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Ich fühle mich auch schon viel besser ;-)