Begründen Sie warum sich die Lösung x des Anfangswertproblems asymptotisch dem Wert -1 nähert?

Question

Aufgabe:

Skalare DGL

x'(t) = x²(t) - 1

x(0) = -22

a) Begründen Sie warum sich die Lösung x des Anfangswertproblems asymptotisch dem Wert -1 nähert?

b) Gilt die Aussage in b) für t→∞ oder besitzt die Lösung auf [0, ∞[ eine Polstelle?

Answer 1

Hallo ,Willkommen hier,

Comments

Hallo Grosserloewe,

vielen Dank für diese ausführliche Lösung! Das hilft mir enorm weiter. :-)

Beim Durchrechnen bekomme ich allerdings aus x(0) = -22 über -22 = (-1-C) / (C-1)

für C = 1 raus.

Grenzwert wird auch -1

Polstelle t = ln(1) / 2 = 0

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habe nochmal gerechnet:

Ergebnis Wolfram Alpha:

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Da war es wieder.. Das Brett vorm Kopf. Hatte einen VZ.Fehler drin.

Kannst du mri evtl noch bei Phasenportraits von skalaren DGL für x/x' Diagramme helfen?

https://www.mathelounge.de/991039/skalare-dgl-phasenportrait-und-grenzwertbetrachtung

Answer 2

Hallo

lös doch einfach die Dgl Integral von 1/( x^2-1) mit Partialbruchzerlegung,

dann bevor man nach x auflöst den Anfangswert  einsetzen um die Integrationskonstante zu bestimmen,

x' ist am 'Anfang positiv sehr groß nähert sich deshalb x=-1 schnell und wenn x=-1 ist x'=0

lul