Wie komme ich hier auf x und y?

Question

Aufgabe:

\( L=x^{2}+y^{2}-\lambda(6 x+4 y+208) \)

\( L_{1}^{\prime}=2 x-6 \lambda=0 \)

\( L_{2}^{\prime}=2 y-4 \lambda=0 \)

Problem/Ansatz:

Wie komme ich hier auf x und y?

Comments

Schon Deine Frage vor fünf Tagen war total unvollständig.

Wie lautet die vollständige Aufgabe hier?

Meine Glaskugel behauptet zwar, dass x = -24 und y = -16 aber eine Diskussion darüber, ohne dass Du die Aufgabe bekannt gibst, wäre nicht seriös.

Answer 1

Du kennst

2x - 6λ = 0 → x = 3λ
2y - 4λ = 0 → y = 2λ

Damit gehst du in die Nebenbedingung

6x + 4y = -208
6(3λ) + 4(2λ) = -208
18λ + 8λ = -208
26λ = -208
λ = -8

Damit kannst du jetzt x und y berechnen

x = 3λ = -24
y = 2λ = -16

Comments

Freut mich, dass dir mein Tipp ("Einsetzungsverfahren") geholfen hat.

Answer 2

Du hast eine Gleichung in drei Unbekannten (und zwei Ableitungen davon). Um das lösen zu können, braucht es drei Gleichungen.

Die Frage ist aber wahrscheinlich eine andere. Kann es sein, dass Du irgendein Optimum von irgendetwas suchst?

Comments

Angabe: Die Funktion f(x,y): x²+y² wird unter der Nebenbedingung 6x+4x= -280 optimiert. Sie besitzt ein Minimum. Was ist der Funktionswert in diesem Minimum?

hoffe das passt jetzt so

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Da hat meine Glaskugel ja gut geraten. Wobei Du wahrscheinlich nicht 6x + 4x = -280 meinst wie geschrieben, sondern 6x + 4y = -208

Deine Lagrangefunktion stimmt.

Du musst nicht nur nach x und y sondern auch noch nach lambda ableiten und diese drei Ableitungen gleich null setzen. So bekommst Du ein Gleichungssystem mit drei Gleichungen in drei Unbekannten (x, y, lambda). Dessen Lösung für x und y eingesetzt in die Funktion gibt die gesuchte Antwort.

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Achso ok danke. Und wie wäre die dritte Gleichung dann?

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Was jetzt? Einmal schreibst Du -208 und einmal -280?

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Ups sorry 208 ist es

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Und wie wäre die dritte Gleichung dann?

Das schrieb ich ja, nämlich:

...sondern auch noch nach lambda ableiten und diese drei Ableitungen gleich null setzen

Das gibt das Gleichungssystem

2 x - 6 λ = 0
2 y - 4 λ = 0
-6 x - 4 y - 208 = 0

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Jaja das weiß ich, aber ich bin mir nicht sicher wie genau ich nach lambda ableite… hab’s jetzt schon paar mal versucht aber ich glaub die Ableitung nach lambda ist falsch

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Ich habe die drei Gleichungen hingeschrieben. Löse sie.

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hab’s jetzt schon paar mal versucht aber ich glaub die Ableitung nach lambda ist falsch

Da wir deine Ableitung nicht sehen, können wir das nicht beurteilen.

Was aber absolut seltsam ist: Du kannst L nach x ableiten. Du Kannst L nach y ableiten.

Warum kannst du L nicht nach λ ableiten?

Ist es eine psychologische Blockade, weil du griechische Buchstaben nicht als Variable gewöhnt bist?

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Da wir deine Ableitung nicht sehen, können wir das nicht beurteilen.

Na ja, immerhin können wir Aufgaben lösen die sie uns nicht verraten hat, siehe Kommentar unter der Frage.

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@abakus ich hatte die Gleichungen so wie döschwo sie gezeigt hat, ich komm aber nicht auf die Lösung weil ich anscheinend irgendetwas falsch mache

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Und nochmals: Wenn Du nicht vorzeigst was Du machst, kann Dir auch niemand sagen, wo der Fehler ist.

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Text erkannt:

\( L=x^{2}+y^{2}-\lambda(6 x+4 y+208) \)
\( L_{n}^{\prime}=2 x-6 \lambda=0 \quad 2 x-6 \lambda=0 \)
\( L_{i}=2 y-4 \lambda=0 \quad 1.2 \quad+1 y-8 \lambda=0 \)
\( L_{3}^{\prime}=-6 x-4 y-208=0 \quad-6 x-4 y-208=0 \)
\( \rightarrow-4 x-14 \lambda=208 \mid+14 \lambda \)
\( -4 x=208+14 \lambda \)

So hätte ich’s jetzt gemacht, aber ist ja anscheinend falsch

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Wieso sollte das falsch sein?

Ich sehe keinen Fehler.

Es ist aber noch nicht fertig.

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Naja wenn ich danach : -4 rechne um auf x1 zu kommen kommt nicht -24 raus?

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Ganz allgemein: Du hast ein lineares Gleichungssystem mit 3 Gleichungen und 3 Unbekannten. Das solltest du lösen können (z.B. mit dem Gaußverfahren oder nach einfachen Umstellungen mit den Einsetzungsverfahren).

Dein Kommentar verwirrt mich etwas. Wo willst du in einer der Gleichungen -4 rechnen, um auf 24 zu kommen?

Vielleicht ist das das Problem?

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Wenn lineare Gleichungssysteme ein Problem sein sollten: Es gibt z.B.

https://www.matheretter.de/rechner/lgspro

Der löst nicht nur das LGS, sondern zeigt auf Wunsch auch den Rechenweg an, damit man den nachvollziehen und etwas dabei lernen kann.