Funktion finden, so dass g(U) und X die gleiche Verteilung haben

Question

Aufgabe:

Die Verteilungsfunktion einer paretoverteilter Zufallsvariable mit Parameter λ > 1 ist F_X(t) = 1 − t^1−λ für t ≥ 1, sonst ist F_X(t) = 0. Sei eine auf [0, 1] gleichverteilte Zufallsvariable U gegeben. Finden Sie eine Funktion g, sodass

g(U) und X die gleiche Verteilung haben. Für welchen Wert von λ > 1 gilt g(x) = \( \frac{ 1 }{ \sqrt{ 1-x } } \) ?

Problem/Ansatz:

Ich komme leider nicht wirklich voran und wäre dementsprechend für jede Hilfe sehr dankbar!

Answer 1

Sei \( F_X^{-1} \) die verallgemeinerte inverse Funktion der Verteilungsfunktion \( F_X \) und \( X = F^{-1}(U) \) wobei \( U \) eine gleichverteilte Zufallszahl auf dem Intervall \( (0,1) \) ist. Dann gilt

$$ P\{ X \le x \} = P\{ F^{-1}(U) \le x \} = P\{ U \le F(x) \} = F(x) $$ Also hat die Zufallsvariable \( X \) jetzt die gewünschte Verteilungsfunktion. Man also nur die Funktion \( F^{-1} \) bestimmen.

Die ergibt sich zu \( g(x) = F^{-1}(x) = (1-x)^{ \frac{1}{1-\lambda} } \)

Aus $$ g(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x}} =(1-x)^{ \frac{1}{1-\lambda} } $$ folgt das

$$ -\frac{1}{2} = \frac{1}{1-\lambda} $$ gelten muss. Also \( \lambda = \frac{3}{2} \)