Ich habe das Thema "Zerlegen von Binomen mit gleich hohen Potenzen" gehabt und ich frage mich wie man beweisen kann, …

Question

Aufgabe: Beweisen das a+b | a^(2n+1)+b^(2n+1)

Ich habe das Thema "Zerlegen von Binomen mit gleich hohen Potenzen" gehabt und ich frage mich wie man beweisen kann, dass a+b ein Teiler von a^(2n+1)+b^(2n+1) ist? Ich weiß, dass wenn man a hoch eine ungerade Zahl (z.B 3) + b hoch eine ungerade, dieselbe wie bei a Zahl (z.B 3) durch a+b dividiert etwas sozusagen "ganzes" rauskommt. Ich weiß nur nicht wie man es beweisen kann, kann man es mit vollständiger Induktion machen und wenn ja wie?

Tut mir leid für die etwas wirre Nachricht.

Danke für Antwort im Voraus.

Gruß maths888

Comments

Nein, meine Antwort war falsch.

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Welche Antwort?

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Ich weiß nur nicht wie man es beweisen kann

zeige, dass$$a^{2n+1}+ b^{2n+1} = (a+b) \cdot \sum\limits_{k=0}^{2n} (-1)^ka^{2n-k}b^k$$Das kann man direkt ausrechnen ...

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Vielen Dank!

Answer 1

Sei \(c=-b\) und \(m\) ungerade. Dann haben wir

\((a-c)(a^{m-1}+a^{m-2}c+\cdots+ ac^{m-2}+c^{m-1})=\)

\(=a^m+a^{m-1}c+\cdots +a^2c^{m-2}+ac^{m-1}\)
\(\; \quad \quad -(a^{m-1}c+\cdots +a^2c^{m-2}+ac^{m-1}+c^m)=\)

\(=a^m-c^m=a^m-(-b)^m=a^m+b^m\), da \(m\) ungerade ist.

Also ist \(a+b=a-c\) ein Teiler von \(a^m+b^m\).

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Vielen Dank!

Answer 2

Du kennst sicher \(a^m-b^m = (a-b)\sum_{k=0}^{m-1}a^{m-1-k}b^k\).

Für ungerades \(m=2n+1\) macht du nun folgendes:

$$a^{2n+1} + b^{2n+1} = a^{2n+1} - (-b)^{2n+1} = (a-(-b))\sum\ldots$$

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Tut mir leid, ich kenn die obere Formel nicht, wie wurde die bewiesen? Gibt es eine Website, die das erklärt? Aber danke für die Antwort!

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Ich habe das doch in meiner Antwort hergeleitet !
Hast du die nicht gelesen?

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@maths888

Probier doch einfach mal, die Formel

\(a^m-b^m = (a-b)\sum_{k=0}^{m-1}a^{m-1-k}b^k\)

per Induktion über \(m\geq 2\) zu beweisen.

Für \(m=2\) hast du die "berühmte" dritte binomische Formel

\(a^2-b^2 = (a-b)(a+b)\).

Und Webseiten zu obiger Formel zu finden, schaffst du bestimmt allein, oder?

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Ok danke an alle, hat mir sehr geholfen.