Aloha :)
Gegeben ist uns eine komplexe Zahl:$$\pink{w=\sqrt3+i}$$
zu a) Wenn es in einer Problemsellung um Potenzen komplexer Zahlen geht, ist es oft ratsam, die Zahl in die Polardarstellung zu konvertieren.
Für eine komplexe Zahl \(z=x+iy\) lautet die Polardarstellung:$$z=r\cdot e^{i\cdot\varphi}\;\;;\;\; z=\sqrt{x^2+y^2}\;\;;\;\;\varphi=\left\{\begin{array}{ll}\arctan\left(\frac yx\right) &\text{für }x>0\\[1ex]\arctan\left(\frac yx\right)+\pi & \text{für }x<0\end{array}\right.$$
Beachte die Korrektur \(+\pi\), falls der Realteil \(x<0\) ist.
Hier ist der Realteil \(x>0\), sodass die Polardarstellung von \(w\) lautet:$$w=\sqrt{(\sqrt3)^2+1^2}\cdot e^{i\cdot\arctan\left(\frac{\sqrt3}{1}\right)}\quad\implies\quad\pink{w=2\cdot e^{i\cdot\pi/6}}$$
zu b) Hier kannst du die Polardarstellung aus Teil (a) einfach einsetzen:$$\small w^{77}=(2\cdot e^{i\cdot\pi/6})^{77}=2^{77}\cdot e^{i\cdot\frac{77}{6}\,\pi}=2^{77}\cdot e^{\frac{72}{6}\,\pi}\cdot e^{\frac56\,\pi}=2^{77}\cdot(\underbrace{e^{i\,2\pi}}_{=1})^{12}\cdot e^{i\,\frac56\,\pi}=2^{77}\cdot e^{i\,\frac56\,\pi}$$Der Polarwinkel von \(w^{77}\) ist also \(\frac56\,\pi\).
zu c) Das hat eigentlich nichts mit der Zahl \(w\) zu tun:$$i^{25}=i^{24+1}=i^{24}\cdot i=(i^2)^{12}\cdot i=(-1)^{12}\cdot i=i$$
zu d) Hier hilft vor dem Rechnen ein kurzer Blick auf die Polardarstellung von \(w\), insbesondere auf die dritte Potenz von \(w\):$$w^3=(2\cdot e^{i\cdot\pi/6})^3=2^3\cdot (e^{i\cdot\pi/6})^3=8\cdot e^{i\cdot\pi/2}=8\,i$$Damit gehen wir in den Bruch:$$\frac{w^{77}}{(8i)^{25}}=\frac{w^{77}}{(w^3)^{25}}=\frac{w^{77}}{w^{75}}=w^2=(\sqrt3+i)^2=(\sqrt3)^2+2\sqrt3\,i+i^2=2+2\sqrt3\,i$$
