Komplexe Zahlen: Potenzen von i berechnen und Einheitswurzeln (α) z^5= 1, (β) z^2+2z+2=0

Question

Aufgaben zu Komplexen Zahlen:

a)
Berechnen Sie die 4. Potenz der komplexen Zahlen z₁=1, z₂=i, z₃=−1 und z₄=−i jeweils direkt und in Polarkoordinatendarstellung. Tragen Sie die 4 Zahlen und die berechneten Potenzen in die Gaußsche Zahlenebene ein. Was fällt Ihnen auf?

b)
Berechnen Sie nun alle komplexen Lösungen z∈ℂ folgender Gleichungen:
α) z⁵= 1
β) z²+2z+2=0

Wie immer biete ich Lösungen an. Ich bitte um Kontrolle meiner Aufgaben.

zu a)
Wenn man die 4 Koordinaten eingibt, dann ist vom Koordinatenursprung ausgehend jeder Vektor um 90° bzw. π/2 entfernt. 2 Vektoren sind in der Gaußschen Zahlenebene auf dem Realteil von z und 2 auf dem Imaginärteil von z.

z₁=2; 0° oder 0*π
z2=0; 90° oder π/2
z3=1; 180° oder π
z4=1; 270° oder 3/2π

→ Wie berechnet man die 4. Potenz? Wird z₁ mit z₂ multiplizert und dann z₃ mit z₄ und dann die 2 ausgerechneten Ergebnisse wieder multipliziert? Oder wird jede Komplexe Zahl hoch 4 potenziert? →z.B: z₁=1⁴; z₂=i⁴; z₁=(-1)⁴; z₂=(-i)⁴

Ich hoffe ihr könnt mir helfen.

zu Aufgabe b:

α)
\( z^{4} \)
\( z^{4}=i=e^{i(0+2 k \pi)} \quad k \epsilon Z \)
\( z=\sqrt[4]{x}=x \frac{1}{4} \)
\( z=\left[e^{i(\theta+2 k \Pi)}\right]^{\frac{1}{4}} \)
\( z=e^{i \frac{1}{4}\left(a_{+} 2 k_{1}\right)} \)
Intervall von \( 10,2 \Pi \) I (Umrundung Gaußsche Zahlenebene)
\( z=e^{i(0)} \)

β)
\( z^{2}+2 z+2=0 \rightarrow \) Lösung mithilfe der p-q-Formel im Bereich \( z \in ℂ \)
\( z_{1 / 2}=-1 \pm \sqrt{1-2} \)
\( z_{1 / 2}=-1 \pm \sqrt{-1} \quad z \in C \)
\( z_{1}=-2 \)
\( z_{2}=0 \)

Answer 1

zu a) 
Wenn man die 4 Koordinaten eingibt, dann ist vom Koordinatenursprung ausgehend jeder Vektor um 90° bzw. π/2 entfernt. Zwei komplexe Zahlen sind in der Gaußschen Zahlenebene auf der reellen Achse und zwei auf der imaginären Achse .

Die 4 Zahlen bilden ein Quadrat mit Diagonalenschnittpunkt (0,0)

Polardarstellung

z₁=(1; 0° oder 0*π )
z2=(1; 90° oder π/2 )       Beachte die 1 und die Klammern.
z3=(1; 180° oder π )
z4=(1; 270° oder 3/2π )

→ Wie berechnet man die 4. Potenz? Wird z₁ mit z₂ multiplizert und dann z₃ mit z₄und dann die 2 ausgerechneten Ergebnisse wieder multipliziert?

Oder wird jede Komplexe Zahl hoch 4 potenziert? →z.B: z₁=1⁴; z₂=i⁴; z₁=(-1)⁴; z₂=(-i)⁴ Das sollst du berechnen. Allerdings:

(z₁)^4=1⁴ = 1; (z₂)^4=i⁴ = 1; (z3)^4=(-1)⁴ = 1; (z₂)^4=(-i)⁴ = 1

weil i^2 = -1 und (-1) * (-1)=1.

Benutze die Erkenntnisse aus a. nun reguläres 5-Eck um (0,0)

(α) z⁵= 1

Die Polardarstellung der Resultate sind

z₁=(1;  0*π ) 
z2=(1; 2π/5 )        
z3=(1; 4π/5 ) 
z4=(1; 6π/5 )

z5=(1; 8π/5)
(β) z²+2z+2=0             |links einen Binom erzeugen

z^2 + 2z +1 = -1

(z+1)^2 = -1                |√

z+1 = ± i

z= -1 ±i

z1 = -1+i
z2 = -1-i

Hier müsstest du in der pq-Formel: √-1 = i setzen nicht einfach 1. Dann hättest du dasselbe raus.

Comments

Gut bei α) wird jede Zahl hoch 4 potenziert. z⁵ ergibt 1. Vom Koordinatenurprung ausgehend werden die 5 Punkte z1 bis z5 eingetragen und es ergibt sich ein Fünfeck. Und bei β) war ich nah dran, aber in Zukunft weiß ich, dass Wurzel -1, i ergibt.