Wie kann man eine komplexe Zahl einer solch hohen Potenz berechnen?

Question

Hallo bei folgender Aufgabe, weiß ich leider nicht weiter:

Z= (sqrt(3)-i / 2)^40

Wie kann man eine komplexe Zahl einer solch hohen Potenz berechnen?

LG

Answer 1

Rechne um in Eulerform und potenziere dann.

Answer 2

Ich würde hierbei folgendermaßen vorgehen:

Die komplexe Zahl \( \sqrt{3}-\frac{i}{2} \) (in Polarform als \( \frac{\sqrt{13}}{2} \cdot e^{-i \frac{\pi}{6}} \)) kann man mit der Euler'sche Formel berechnen:
\( e^{i \theta}=\cos (\theta)+i \cdot \sin (\theta) \)

Für \( \theta=-\frac{\pi}{6} \) gilt:
\( \sqrt{3}-\frac{i}{2}=\frac{\sqrt{13}}{2} \cdot\left(\cos \left(-\frac{\pi}{6}\right)+i \cdot \sin \left(-\frac{\pi}{6}\right)\right) \)
Nun kann man das Ganze zur Potenz 40 nehmen:
\( \left(\sqrt{3}-\frac{i}{2}\right)^{40}=\left(\frac{\sqrt{13}}{2} \cdot\left(\cos \left(-\frac{\pi}{6}\right)+i \cdot \sin \left(-\frac{\pi}{6}\right)\right)\right)^{40} \)

Mit der Euler'schen Formel können wir \( e^{i \theta} \) für \( \theta=-\frac{\pi}{6} \) ausrechnen:
\( \cos \left(-\frac{\pi}{6}\right)+i \cdot \sin \left(-\frac{\pi}{6}\right)=e^{-i \frac{\pi}{6}} \)

Somit ergibt sich:
\( \left(\sqrt{3}-\frac{i}{2}\right)^{40}=\left(\frac{\sqrt{13}}{2} \cdot e^{-i \frac{\pi}{6}}\right)^{40}=\left(\frac{\sqrt{13}}{2}\right)^{40} \cdot e^{-i \frac{40 \pi}{6}} . \)

Dies führt zum Ergebnis \( \left(\frac{\sqrt{13}}{2}\right)^{40} \) als Absolutbetrag und \( -\frac{20 \pi}{3} \) als Argument der komplexen Zahl.

Comments

abi22 hat wahrscheinlich eine Klammer in seiner Aufgabe unterschlagen ;-)

Answer 3

Wie kann man eine komplexe Zahl einer solch hohen Potenz berechnen?

Die komplexe Zahl in eine trigonometrische Form bringen, dann potenzieren und am Ende wieder zurückrechnen. Dann mit dem TR vergleichen.

((√3 - i)/2)^40 = - 1/2 - √3/2·i