Wie ist eigentlich die Probe der Partiellen Integration? Wie geht das?

Question

Ich kann ja eigentlich schon bisschen Gut die Partielle Integration (Mit vieeel Mühe) und jetzt interessiert mich irgendwie, wie man die Probe dazu macht? Das hatte mal Georgborn gemacht, aber ich habe es ehrlich gesagt nicht verstanden (damals konnte ich noch nicht so Gut die Partielle Integration)....

$$ \int sin²(x)dx= -cos(x)sin(x)-\int (-cos(x))cos(x)dx $$
$$Verwenden von sin²(x)+cos²(x)= 1 (Trigonometrischer Pythagoras)$$
$$=-cos(x)sin(x)+\int 1-sin²(x)dx$$
$$=-cos(x)sin(x)+x-\int sin²(x)dx \quad|+sin²(x)dx$$
$$2\int sin²(x)dx= -cos(x)sin(x)+x \quad |:2 $$
$$\int sin²(x)dx= \frac { 1 }{ 2 }cos(x)sin(x)+\frac { 1 }{ 2 }x$$

Ich habe es auch extra mit Latex geschrieben, damit es schön aussieht :)

PS: Diese Aufgabe hatte mir Unknown vorgerechnet! :)

Answer 1

Hi Emre,

Wenn Du die "Probe" machen willst, so leite die Funktion einfach wieder ab:

F(x) = -1/2cos(x)sin(x) + 1/2x

Produktregel:

F'(x) = f(x) = -1/2cos(x)cos(x)  - 1/2(-sin(x))sin(x) + 1/2    |ausklammern von -1/2

= -1/2(cos(x)^2-sin(x)^2 - 1)

Dann wieder mit dem trigonomterischen Pythagoras die 1 umschreiben:

= -1/2(cos(x)^2-sin(x)^2 - (cos(x)^2+sin(x)^2)) = -1/2(-2sin(x)^2) = sin(x)^2

Grüße

Comments

Hallo Unknown :)

Ahsoo ja die Produktregel kann ich ja :)

Aber den trigonometrischen Pythagoras verstehe ich immer noch nicht so  ganz :)

Ist das immer nach dem selben Prinzip? Also einfach nur eine Zahl oder was auch immer umformen?

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Das ist eine Beziehung (oder auch "Formel") die immer gilt.

sin(x)^2 + cos(x)^2 = 1

Das muss/darf man sich merken. Dann kann man damit beliebig arbeiten wie oben getan ;).

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Gerne ;)       .

Answer 2

Probe heißt das was du als Stammfunktion herausbekommen hast einfach mal Ableiten und zeigen das dann die ursprüngliche Funktion heraus kommt.

F(x) = -1/2 * sin(x) * cos(x) + 1/2 * x

f(x) = -1/2 * cos(x) * cos(x) - 1/2 * sin(x) * (-sin(x)) + 1/2

f(x) = 1/2 * sin^2(x) - 1/2 * cos^2(x) + 1/2

sin^2(x) + cos^2(x) = 1
cos^2(x) = 1 - sin^2(x)

f(x) = 1/2 * sin^2(x) - 1/2 * (1 - sin^2(x)) + 1/2

f(x) = 1/2 * sin^2(x) - 1/2 + 1/2 * sin^2(x) + 1/2

f(x) = sin^2(x)

Wie du siehst hat deine letzte Zeile einen Vorzeichenfehler.

Comments

Hallo Mathecoach :))

ahhhh dann hab ich mich abschreiben vertippt ^^ (naja bin ja noch ein Anfänger was Latex angeht) ^^

aber danke für deine Antwort!!