Berechnen Sie die Koordinaten dieses Punktes.

Question

Aufgabe:

Gegeben ist eine gerade Pyramide mit quadratischer Grundfläche. Die Eckpunkte der Grundfläche sind A(-3/-3/0), B(3/-3/0), C(3/3/0), D(-3/3/0) und Spitze S(0/0/6).



Innerhalb der Pyramide gibt es einen Punkt, dessen Abstand von der Grundfläche der Pyramide √5-mal so groß ist wie sein Abstand zu den Seitenflächen.

Berechnen Sie die Koordinaten dieses Punktes.

Problem/Ansatz:

Ich muss diese Aufgabe ohne HNF lösen, doch trotz stundenlangem rumprobieren habe ich keinen Ansatz ohne HNF gefunden. Kann mir jemand weiterhelfen??

Answer 1

Hallo,

Willkommen in der Mathelounge!

Du benötigst hier nur den Satz des Pythagoras! Dazu eine Skizze vom Schnitt durch die Pyramide:

\(M\) ist der Mittelpunkt der Grundfläche und \(P\) und \(Q\) seien die Schnittpunkte der Kanten der Grundfläche mit der Y-Achse (X2-Achse). \(S\) ist die Spitze der Pyramide. Gefordert ist, dass$$\frac{|ME|}{|EF|} = \sqrt{5}$$Die Strecke \(|ME|\) sei \(z\) (rot), dann ist \(|EF| = z/\sqrt{5}\) (gelb). Weiter ist - auf Grund der Ähnlichkeit der Dreiecke - $$\frac{|SF|}{|EF|} = \frac{|SM|}{|MQ|} = \frac{6}{3}=2 \implies |SF| = 2|EF|$$Nun den Satz des Pythagoras für das Dreieck \(\triangle EFS\) aufstellen (das grün markierte)$$|EF|^2 + |SF|^2 = |SE|^2\\\left(\frac{z}{\sqrt{5}}\right)^2 + \left(\frac{2z}{\sqrt{5}}\right)^2 = (h-z)^2 \quad\quad h =|MS|=  6 \\ \implies z^2 = (h-z)^2 \implies z = \frac{h}{2} = 3$$ Hier war schonmal eine ähnliche Aufgabe.

Gruß Werner

Answer 2

wie sein Abstand zu den Seitenflächen.

deutet darauf hin, dass der Abstand zu allen 4 Seitenflächen der Gleiche ist. Damit liegt der gesuchte Punkt auf der z-Achse und hat die Koordinaten (0|0|z).

Stelle doch einfach die Gleichung einer Geraden auf, die durch (0|0|z) geht und senkrecht auf einer der Seitenflächen steht. Als Richtungsvektor dieser Gerade kannst du den Normalenvektor der betreffenden Ebene nutzen. Diese Gerade schneidet die Ebene in einem Punkt. Der Wert z soll laut Aufgabenstellung \( \sqrt{5} \)-mal so groß sein wie der Abstand des ermittelten Schnittpunktes zu (0|0|z).

Comments

Aber wie kann ich eine Geradengleichung bestimmen, die den Punkt (0|0|z) schneidet, der dann wiederum den Lotfußpunkt schneidet, wenn ich den Punkt (0|0|z) nicht kenne? (es bleiben dann ja zwei Variablen t und z übrig)

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Fang einfach an ! Wie lautet der Normalenvektor der Ebene mit den Punkten A, B und S?

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Der Normalenvektor ist n=(0;-2;1) also die Ebenengleichung E: -2y+z=6

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Für welches t liegt ein Punkt der Gerade \( \vec{x}=\begin{pmatrix} 0\\0\\z \end{pmatrix} +t\begin{pmatrix} 0\\-2\\1 \end{pmatrix}\) in dieser Ebene?