Bestimmen Sie die Koordinaten dieses Punktes P.

Question

Aufgabe:

Die Gerade k durchstößt die Ebene E in einem Punkt P. Bestimmen Sie die Koordinaten dieses Punktes P.

E: 3x-4y+7z-24=0

g_{k: \( \vec{x} \) = \( \begin{pmatrix} 1\\0\\3 \end{pmatrix} \) + μ \( \begin{pmatrix} 2\\3\\-2 \end{pmatrix} \)}

Problem/Ansatz:

Answer 1

Setze die Gerade in die Ebene ein

3·(1 + 2·r) - 4·(0 + 3·r) + 7·(3 - 2·r) - 24 = 0 → r = 0

Damit ist [1, 0, 3] direkt der Durchstoßpunkt.

Comments

Aber auch gleichzeitig der Punkt P?

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Der Durchstoßpunkt wurde als der Punkt P festgelegt. Also ja. Es ist auch der Punkt P.

Answer 2

Hallo,

du schreibst bereits \(k : \vec{x}= \begin{pmatrix} 1\\0\\3 \end{pmatrix} +\mu \begin{pmatrix} 2\\3\\-2 \end{pmatrix} \). Wenn du \(\vec{x}\) ausschreibst, so schreibst du \(\vec{x}=\begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix}\). Du liest nun aus dein einzelnen Zeilen ab:$$x=1+2\mu \\ y=3\mu \\ z=3-2\mu$$ Das setzt du so in die Ebene \(E\) ein und löst nach \(\mu\) auf:$$3(1+2\mu)-4\cdot 3\mu+7(3-2\mu)-24=0 \Rightarrow \mu =0$$ Daher ist der Aufpunkt der Geraden \(k\) auch der Schnittpunkt mit der Ebene.

Comments

Und was ist der Punkt P?

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Du hast \(\mu=0\) ermittelt. Das setzt du in die Geradengleichung ein:$$\overrightarrow{OP}=\begin{pmatrix} 1\\0\\3 \end{pmatrix}+0\cdot \begin{pmatrix} 2\\3\\-2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1\\0\\3 \end{pmatrix}$$ Daher ist \(P(1|0|3)\) der gesuchte Durchstoßpunkt.

Answer 3

x-Richtung: x=1+r*2

y-Richtung: y=0+r*3

z-Richtung: z=3+r*(-4)

in die Ebene eingesetzt

3*(1+r*2)-4*(0+r*3)+7*(3-4*r)-24=0

3+6*r-12*r+21-28*r-24=0

-34*r+24-24=0

-34*r=0

r=0

also P(1/0/3)

Probe: 3*1-4*0+7*3-24=3+21-24=24-24=0  stimmt