Aufgabe:
Berechnung der genauen Bogenlänge einer Ellipse durch Ihre inverse Funktion
Problem/Ansatz:
Ellipse \(\displaystyle\frac{x^2}{64}+\frac{y^2}{25}=1\), mit \(a=8\), \(b=5\), Halbachsen
\(\displaystyle y=\pm 5\cdot\left(1-\frac{x^{2}}{64}\right)^{0.5}\) Vereinfachung für die Bogenlänge: $$\displaystyle y=2\cdot\frac{5}{8}\cdot(8-x)^{0.5}\cdot(8+x)^{0.5}=\frac{5}{4}\cdot y_{\operatorname{inv}1}\cdot y_{\operatorname{inv}2}$$\(y_1=-x^2+8,\quad y_2=x^2-8,\quad y_1=-y_2\) \(y_{\operatorname{inv}}\)=inverse Funktion
die Bogenlänge von y und yinv sind gleich, in den entsprechenden modifizierten Grenzen, deshalb eine Integration von y*y
einfaches Beispiel für die Berechnung der Bogenlänge einer linearen Funktion y=nx in den Grenzen von 0 bis a:
Bogenlänge: B=Integral (1+(y')^2)^0.5 dx, für das gewählte Beispiel y=nx ergeben sich folgende Gleichungen in den Grenzen
allgemeiner Ansatz: 1. (Integral von 0 bis a (1+(y1')^2)^0.5 dx)^2, dieses Integral ist immer lösbar.....
2. Integral von 0 bis a (1+((y1*y2)')^2)^0.5 dx
y=nx, daraus folgt: 1. (Integral von 0 bis a (1+n^2)^0.5 dx)^2=1/4(a1*(a1^2+1)^0.5+sinh^(-1)(a1))^2
2. Integral von 0 bis a (1+(2n^2*x)^2)^0.5 dx=1/4(2a2(4a2^2*n^4+1)^0.5+sinh^(-1)(2a2*n^2)/n^2)
Koeffizientenvergleich ergibt: a1=2a2*n^2
mein Beispiel: siehe oben schwarzer Text
Modifizierung der Integrationsgrenzen der inversen Funkion zur echten Funktion:
~plot~ -x^2+8;(8-x)^0.5;x=8^0.5; 8; 8^0.5;[[-10|10|-10|10]] ~plot~
Integrationsgrenzen: untere Grenze: x=0 obere Grenze x=8^0.5
5/4*(Integral von 0 bis 8^0.5 (1+(-x^2+8)')^2)^0.5 dx)^2=5/4*(sinh^(-1)(2x)/4+x*(4x^2+1)^0.5/2)^2
a1=2x x=a2, daraus folgt für die eingesetzten Grenzen: a1=8^0.5, daraus folgt: a2=2^0.5, n=2 (y=-x^2+8, y'=-2x=-nx)
5/4 Integral von 0 bis 8^0.5*(1+(((x^2-8)(-x^2+8))')^2)^0.5 dx= 2. =5/4*(2a2*(4a2^2*n^4+1)^0.5+sinh^(-1)(2a2n^2)/n^2))=
41,1313 vgl. bisherige Bogenlänge: 41,38628 = Gesamtbogenlänge der Ellipse mit a=8 und b=5
https://www.wolframalpha.com/input?i=5%2F4*%28%282x*%284x%5E2*n%5E4%2B1%29%5E0.5%29%2Bsinh%5E%28-1%29%282x*n%5E2%29%2Fn%5E2%29%2C+x%3D2%5E0.5%2Cn%3D2
Ich hoffe, dies ist alles richtig, Dankeschön für die Antworten/Bewertungen, ich weiß, ziemlich umfangreich, aber es ging nicht anders. Viele Grüße, Bert Wichmann!
