Berechnung eines Arbeitsintegrals längs einer geschlossenen Ellipse

Question

Aufgabe:

Sei \( \gamma \) die Ellipse: \( 4 x^{2}+y^{2}=16 \).

Berechnen Sie das Arbeitsintegral des Kraftfeldes \(\vec{F}(x, y)=\binom{2 x y}{x^{2}} \) längs der geschlossenen Ellipse mit einem positiv orientierten Umlauf.

\( W=\oint \vec{F}(x, y) \cdot d \vec{s} \)

Problem/Ansatz

Bei der Aufgabe sind wir uns in einer gruppe uneinig, ob sich die Parametrisierung des Kraftfeldes für ein Skalarpotential eignet. Wenn dem so ist, dann dürfte das ergebniss doch eindeutig 0 sein, da eine Ellipse den gleichen start und end Punkt hat.

Answer 1

Aloha :)

Das Kraftfeld kann als Gradient einer skalaren Funktion dargestellt werden:$$\vec F(x;y)=\binom{2xy}{x^2}=\operatorname{grad}(x^2y)=\frac{\partial}{\partial\vec r}(x^2y)$$

Daher gilt für das Arbeitsintegral mit einem beliebigen Startpunkt \((x_0;y_0)\) auf dem Ellipsenbogen, der ja auch gleichzeitig Endpunkt ist:$$W=\oint_\gamma\vec F(x;y)\,d\vec r=\oint_\gamma\frac{\partial(x^2y)}{\partial\vec r}\,d\vec r=\oint_\gamma d(x^2y)=\left[x^2y\right]_{(x_0;y_0)}^{(x_0;y_0)}=0$$

Comments

wow ich sehe schon gib viele möglichkeiten so ein Kraftfeld darzustellen danke

Answer 2

"Kraftfeld" ist nur ein Name. Damit alle Arbeitsintegrale über geschlossene Kurven 0 sind, muss es ein Gradientenfeld (Potentialfeld) sein.

Edit: Sorry, hab mich verrechnet. Bedingung an part. Ableitung ist erfüllt, sollte Integral =0 ergeben.

Comments

Und das ist dieses hier nicht

x²y

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Wie genau kann ich sowas denn prüfen? ich habe bis her nur gesehen, dass ich die 2xy nach y ableiten muss und die x^2 nach x und, wenn dass das selbe ist, dann solle es sich um eine Potentialfeld handeln

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Ja, sorry, hatte mich verrechnet. Hab oben editiert.

Es gibt übrigens auch noch weitere Anforderungen an das Kraftfeld und das Integrationsgebiet, aber die sind hier auch erfüllt.

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Gut zu wissen, dass es noch weitere gibt, dann werde ich mich da wohl auch nochmal mehr einarbeiten.

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\(F\) muss stetig differenzierbar sein und das Gebiet, in dem die Kurve liegt und auf dem \(F\) definiert ist, einfach zusammenhängend. Dann kann man von der Bedingung mit den part. Abl. auf Integral=0 schließen. Wenn man ein Potential kennt (hier eben \(f(x,y)=x^2y\)), dann kann man sich das Prüfen all' dieser Bedingungen sparen.

Answer 3

Was genau spricht gegen die Parametrisierung

X = [2cos(t), 4sin(t)] für t ∈ [0 ; 2pi]

Start und Endpunkt fallen zwar zusammen, aber nicht Anfangs und Endwert des Winkels.

Comments

ahh okay, ist die winkelgleichheit auch eine Bedingung um sicher gehen zu können, dass das ergebniss 0 ist?

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Wenn die obere und die untere Integralgrenze übereinstimmen wird doch ein Integral 0 oder nicht.

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ja so ist mir das bekannt, aber was hat das mit dem winkel zu tun? ich habe noch nie winkel bei meinen Integralgrenzen mit beachtet