Aloha :)
Wir haben hier den IQ als normalverteilte Zufallsvariable mit \(\green{\mu=126}\) und \(\green{\sigma=2}\) vorliegen.
Zur Beantwortung der folgenden Fragen nutzen wir die Standardnormalverteilung \(\phi(z)\), die du mit einem Rechner bestimmen oder in einer Tabelle nachschlagen kannst. Die nötige Transformation für die Zufallsvariable Q lautet:$$P(q<Q)=\phi\left(\frac{Q-\mu}{\sigma}\right)=\phi\left(\frac{Q-126}{\sigma}\right)$$
a. Wie hoch ist der Anteil der getesteten Personen in Prozent, die einen IQ von weniger als 126.54 Punkten erreichen?
$$P(q<126,54)=\phi(0,27)\approx\pink{60,64\%}$$
b. Welche Punkteanzahl wird von 88% der getesteten Personen beim IQ-Test unterschritten?
$$P(q<Q)=0,88\implies\phi\left(\frac{Q-126}{2}\right)=0,88\implies\frac{Q-126}{2}=\phi^{-1}(0,88)\approx1,174987\implies$$$$Q\approx1,174987\cdot2+126\approx\pink{128,35}$$
c. Das Bildungsinstitut interessiert sich für den Anteil der Personen, die IO-Punkte zwischen 123.16 und 128.84 erreicht haben. Wie hoch ist der Anteil der Personen in Prozent, deren IO-Punkte in diesem Intervall enthalten sind?
$$P(123,16<q<128,84)=P(q<128,84)-P(q<123,16)=\phi(1,42)-\phi(-1,42)\approx\pink{84,44\%}$$
d. Das Bildungsinstitut möchte wissen, welches symmetrisch um / gelegene Intervall die erreichten IQ-Punkte der getesteten Personen mit einer
Wahrscheinlichkeit von 90% enthält. Wie lautet die untere Grenze dieses Intervalls?
$$0,9\stackrel!=P(\mu-x<q\le\mu+x)=P(q<\mu+x)-P(q<\mu-x)$$$$\phantom{0,9}=\phi\left(\frac{(\mu+x)-\mu}{2}\right)-\phi\left(\frac{(\mu-x)-\mu}{2}\right)=\phi\left(\frac x2\right)-\phi\left(-\frac x2\right)$$Wir nutzen nun die Symmetrie \(\green{\phi(z)+\phi(-z)=1}\) bzw. \(\green{\phi(-z)=1-\phi(z)}\) aus:$$\phantom{0,9}=\phi\left(\frac x2\right)-\left(1-\phi\left(\frac x2\right)\right)=2\phi\left(\frac x2\right)-1$$Auf beiden Seiten \(1\) addiert liefert:$$2\phi\left(\frac x2\right)=1,9\implies\phi\left(\frac x2\right)=0,95\implies\frac x2=\phi^{-1}(0,95)\approx1,644854\implies x\approx3,29$$Das gesuchte Intervall ist daher:\(\quad\pink{122,71}<q<129,29\).
e. Das Bildungsinstitut möchte nun die Gewichtung der Aufgaben so ändern, dass die erreichten IQ-Punkte der getesteten Personen mit hoher Wahrscheinlichkeit im Intervall [123.16; 128.84] enthalten sind (siehe (c)). Die Wahrscheinlichkeit dafür soll auf 90% gesteigert werden (siehe (d)). Auf welchen Wert müsste die Varianz gesenkt werden?
Nach Teil (d) muss der Abstand der beiden normierten \(z\)-Werte \(2\cdot3,29=6,58\) sein:$$\frac{\sigma_{\text{neu}}}{\sigma_{\text{alt}}}=\frac{128,84-123,16}{6,58}\implies\sigma_{\text{neu}}\approx\pink{1,7264}$$
