Komplexe lim(x->0) Aufgabe

Question

Aufgabe:

Es sei \( f(x)=\sum \limits_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n} \) eine Potenzreihe mit Konvergenzradius \( R>0 \). Bestimmen Sie für \( n \in \mathbb{N}: \)
\( \lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{f(x)-\sum \limits_{k=0}^{n} a_{k} x^{k}}{x^{n+1}} . \)

Problem/Ansatz:

Ich hatte es jetzt bisschen durch gerrechnet und bin auf 0/0 gekommen, wollte dann L'Hospital anwenden, bin da aber nicht weiter gekommen. Würde mich über eine Lösung freuen :)

Comments

Wie kann man denn den Zähler umformen?

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Habe echt keine Ahnung, wie ich es umformen könnte

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Hast Du die Antwort von lul gesehen?

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Ja, habe es jetzt so \(\frac{\sum \limits_{n=n+1}^{\infty}a_{n+1}x^{n+1}}{x^{n+1}}\), aber wie kürze ich für x≠0

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Zunächst muss Du die Summe vernünftig aufschreiben:

$$\frac{1}{x^{n+1}}\sum_{k=n+1}^{\infty}a_kx^k=a_{n+1}+\sum_{k=n+2}^{\infty}a_kx^{k-n-1} \to a_{n+1}$$

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Vielen Dank, jedoch verstehe ich den kompletten Teil nach dem gleichzeichen irgendwie nicht

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Dass

$$\sum_{k=n+1}^{\infty}a_kx^k=a_{n+1}x^{n+1}+a_{n+2}x^{n+2}+a_{n+3}x^{n+3}+ \cdots$$

ist, verstehst Du aber - oder?

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Ja das verstehe ich

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Dann kannst Du doch jetzt durch x^(n+1) dividieren

Answer 1

Hallo

schreib  den Zähler als Summe von n+1 bis oo

dann kürze für x≠0

lul