Mit zwei unabhängigen Zufallsvariablen die Gleichverteilung berechnen, sowie schauen ob es eine Dichte gibt.

Question

Hallo Zusammen,

Ich habe eine Aufgabe aus dem Bereich Wahrscheinlichkeit und Statistik.

Für die Dichten ¨f_X und f_Y zweier unabhängiger und stetiger Zufallsvariablen X und Y sei auf folgende Art ein "Produkt"        f_X ∗f_Y definiert:

f_X ∗ f_Y (t) = \( \int\limits_{-∞}^{\infty} \) f_X(s) · f_Y (t − s) ds

a) Berechnen Sie f_X ∗ f_Y für den Fall, dass sowohl X als auch Y die
Gleichverteilung über [0 , 2] (!) besitzen. Skizzieren Sie die Funktionen
f_X, f_Y und f_X ∗ f_Y . Ist f_X ∗ f_Y eine Dichte?
b) Berechnen Sie f_X ∗ f_Y für den Fall, dass X ∼ Exp(λ) und Y ∼ Exp(µ),
also X und Y exponentialverteilt sind mit λ, µ > 0. Skizzieren Sie auch
hier die Funktionen f_X, f_Y und f_X ∗ f_Y . Ist f_X ∗ f_Y eine Dichte?

Bei diesen beiden Teilaufgaben bräuchte ich bitte eure Hilfe!

Vielen Dank schonmal!

Comments

Ok also mein Ansatz wäre schonmal, dass du dann 1/4 * ∫ Indikatorfunktion von [0,2] (x) * Indik. von [0,2] (t-s) ds

Dann würde ich das Intervall in Abhängigkeit von t schreiben sodass deine Indikatorfunktion nur noch von s abhängt: Dann verändert sich das Intervall von [0,2] zu [t-2,t]. Dann könnte man das Produkt von Zwei Indikatorfunktionen darstellen als Indikatorfunktion von [0,2] ∩ [t-2,t]. Hmm, dann müsste ich überlegen...Theoretisch ist dann der Schnitt [t-2,2] wenn 4≥t≥2, ∅ wenn t>4 oder t<0, [0,t]. wenn 0≤t<2 .

Dann könnte man denke ich diesen beide Fälle unterscheiden, wo das Intervall nicht leer ist und die Grenzen entsprechend ersetzen durch diese Intervallgrenzen und dann relativ einfach Integrieren. PS: Ist nur eine Idee, keine Garantie

Answer 1

Siehe hier