Wie die Tangentengleichungen mithilfe von Punkt P und der Kreisgleichung ermitteln?

Question

Aufgabe:

Man soll vom Punkt P(- 4/2) die Tangenten an den Kreis k: x² + y² = 10 legen. Am Ende sollen die Tangentengleichungen aufgestellt werden.

Lösungen sind nach den Unterlagen x - 3y + 10 = 0 und 3x + y + 10 = 0

Problem/Ansatz:

Ich komme einfach nicht auf die richtige Lösung und bitte um einen verständlichen Lösungsweg. Danke im Voraus.

Answer 1

Beachte, dass der Kreis den Mittelpunkt O(0,0) hat.

Wenn eine Tangente durch P(-4,2) den Kreis im Punkt Q(x,y) berührt, musss gelten:

\(OQ \perp PQ \Rightarrow \begin{pmatrix}x\\y \end{pmatrix}\cdot  \begin{pmatrix}x+4\\y-2 \end{pmatrix}=0\)

\(\Rightarrow x^2 + y^2 + 4x -2y = 10 + 4x-2y = 0\)

Die zwei gesuchten Berührungspunkte liegen also auf der Geraden

\(y=2x+5 \quad (1)\).

Einsetzen in die Kreisgleichung gibt nach Vereinfachung

\(x^2+4x+3=0 \Rightarrow x=-1,\: x=-3\)

\(\stackrel{(1)}{\Rightarrow} Q(-1,3),\: Q(-3,-1)\) sind die Berührungspunkte.

Wieder wegen \(OQ \perp PQ\) sind \(\begin{pmatrix}-1\\3 \end{pmatrix}\) und \(\begin{pmatrix}-3\\-1 \end{pmatrix}\) Normalenvektoren der gesuchten Tangenten. Somit ergeben sich die Tangentengleichungen

\(-x+3y +c = 0 \stackrel{P(-4,2)}{\Rightarrow}4+6 + c = 0 \)

\(-x+3y-10 = 0 \Leftrightarrow \boxed{x-3y+10 = 0}\)

\(-3x-y +c = 0 \stackrel{P(-4,2)}{\Rightarrow}12-2 + c = 0 \)
\(-3x-y-10 = 0 \Leftrightarrow \boxed{3x+y+10 = 0}\)

Answer 2

Alle Geraden die durch den Punkt (-4|2) verlaufen, haben die Gleichung y=m(x+4)+2 (Ausnahme: die Gerade x=2)

Falls vorhanden, lassen sich die Schnittpunkte dieser Gerade mit dem Kreis (bzw. erst einmal die x-Koordinate davon) berechnen, indem man statt y den Term m(x+4)+2 in die Kreisgleichung einsetzt.

Die Gleichung x²+(m(x+4)+2)²=10 hat je nach gewähltem Anstieg m zwei Lösungen (Gerade schneidet Kreis in 2 Punkten), keine Lösung (Gerade geht am Kreis vorbei) oder genau eine Lösung (Gerade berührt nur und ist also Tangente),

Forme die Gleichung x²+(m(x+4)+2)²=10 in die Normalform einer qu. Gl. um und setze die Diskriminante gleich 0. So erhältst du die beiden Anstiegswerte m, für die es nur genau eine Lösung gibt.

Alternativer Weg:

Seien C und D die Berührungspunkte für beide Tangenten:

Da die Tangenten orthogonal zu den Berührungsradien sind, liegen nach Satz des Thales die Punkte C und D auf einem Kreis mit dem Durchmesser OM (O ist der Koordinatenursprung und mMittelpunkt deines gegebenen Kreises).

Der Mittelpunkt dieses Thaleskreises ist der Mittelpunkt der Strecke OM, also (-2|1).

Er hat die Gleichung (x+2)²+(y-1)=5.

Berechne die Schnittpunkte des gegebenen Kreises mit diesem Thaleskreis, dann hast du die Koordinaten der Punkte C und D.

Comments

"Forme die Gleichung x²+(m(x+4)+2)²=10 in die Normalform einer qu. Gl. um und setze die Diskriminante gleich 0. So erhältst du die beiden Anstiegswerte m, für die es nur genau eine Lösung gibt."

Entschuldigung, aber wäre es möglich, deinen Rechnungsweg für den letzten Abschnitt darzustellen? Ich scheine irgendwo im letzten Teil noch einen Fehler zu machen und das Thema bereitet mir einige Mühe.

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x²+(m(x+4)+2)²=10

x²+(m²(x+4)² + 4m(x+4) +2²) = 10

x²+(m²x²+8m²x+16m²   + 4mx +16m    +4 ) = 10
x²(1+m²) +(8m²+4m)x +(16m²+m -6) = 0

Jetzt durch (1+m²) teilen. Für die pq-Formel hast du

p=(8m²+4m)/(1+m²)   und q=(16m²+m -6).

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Noch eine Lösungsvariante.

Im rechtwinkligen Dreieck POD gilt PD²=PO²-OD²,

also PD²=20-10 = 10.

D und C liegen damit auf ein einem Kreis um P mit dem Radius √10.

C und D erhält man also auch als Schnittpunkte der Kreise

x²+y²=10 und (x+4)²+(y-2)²=10.

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Ah, danke vielmals für die Ausführung.

Answer 3

Um die Gleichungen für die Tangenten an einem Kreis an einem bestimmten Punkt P zu finden, kann man folgende Schritte ausführen:

Den Normalenvektor des Kreises bestimmen. Hier ist der Normalenvektor (2x, 2y)
Den Normalenvektor des Punktes P bestimmen. Hier ist der Normalenvektor (-4, 2)
Den Normalenvektor des Punktes P mit dem Normalenvektor des Kreises skalieren, um den Abstand von P zur Tangente zu bestimmen. In diesem Fall ist der Abstand -4/2 = -2.
Die Gleichung für die Tangente an P aufstellen, indem man den Abstand vom Punkt P zur Tangente mit dem Normalenvektor des Kreises multipliziert. Hier ist die Gleichung:
(2x) * (-2) + (-4) * (2y) + x^2 + y^2 - 10 = 0

Das ergibt die Gleichung: -4x + 8y + x^2 + y^2 - 10 = 0

Umstellen und vereinfachen. Diese Gleichung kann man in die Form x - 3y + 10 = 0 umstellen.
Um die zweite Gleichung zu finden, wiederholen Sie die Schritte 1 bis 5 mit einem anderen Punkt an der Tangente (nicht auf dem Kreis).

Comments

Das ist alles sehr unglücklich formuliert.

Punkte haben keinen Normalenvektor.

Bei "Normalenvektor des Kreises" würde ich eher an \( \begin{pmatrix} 0\\0\\z \end{pmatrix} \) denken.

Answer 4

"Man soll vom Punkt \(P(- 4|2)\) die Tangenten an den Kreis k: \(x^2 + y^2 = 10\) legen. Am Ende sollen die Tangentengleichungen aufgestellt werden."

Ich habe mal eine Zeichnung angefertigt, nach der du die Aufgabe lösen kannst:

Comments

Noch eine Möglichkeit:

Man soll vom Punkt \(P(- 4|2)\) die Tangenten an den Kreis k: \(x^2 + y^2 = 10\) legen.

 \( y= +-\sqrt{10-x^2}\)  →  \( y´= +-\frac{x}{\sqrt{10-x^2}}\)

Berührpunkte sind

\(B(x|\sqrt{10-x^2})\)

\( \frac{ \sqrt{10-x^2}-2}{x+4}= -\frac{x}{\sqrt{10-x^2}}\)

\( \frac{2- \sqrt{10-x^2}}{x+4}= \frac{x}{\sqrt{10-x^2}}\)

\( 2\cdot\sqrt{10-x^2}-(10-x^2)=x^2+4x \)

\( 2\cdot\sqrt{10-x^2}=4x+10 \)

\( \sqrt{10-x^2}=2x+5 \)

\( 10-x^2=4x^2+20x+25 \)

\( 5x^2+20x=-15 \)

\( x^2+4x=-3\)

\((x+2)^2=-3+4=1\)

1.)  \(x+2=1\)

\(x_1=-1\)   \( y_3= 3\)  \( y´(-1)= \frac{1}{3}\)

2.)  \(x+2=-1\)

\(x_2=-3\)    \( y_2= -1\)  \( y´(-3)= -3\)

Nun Tangenten bestimmen.

Answer 5

Hallo,

stelle die Gleichung eines zweiten Kreises mit dem Mittelpunkt Q der Strecke PM auf.

Löse die Gleichung nach x oder y auf und setze dein Ergebnis in die andere Kreisgleichung ein, um die Schnittpunkte zu bestimmen.

Gruß, Silvia