Zeigen Sie, dass die Gleichung x^{3}-√{|x|}+e^{x}=3 mindestens eine Lösung in ℝ besitzt.

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie, dass die Gleichung \( x^{3}-\sqrt{|x|}+e^{x}=3 \) mindestens eine Lösung in \( \mathbb{R} \) besitzt.

Problem/Ansatz:

Wie berechnet man diese Gleichung???

Answer 1

Es steht nirgendwo, dass du die Gleichung lösen sollst. Du sollst zeigen, dass sie eine Lösung hat.

Suche dir dazu ein \(x_1\) mit

        \( x_1^{3}-\sqrt{|x_1|}+e^{x_1} < 3 \)

und ein \(x_2\) mit

        \( x_2^{3}-\sqrt{|x_2|}+e^{x_2} > 3 \).

Laut Zwischenwertsatz gibt es dann ein \(x\in (\min\{x_1,x_2\},\max\{x_1,x_2\})\) mit

        \( x^{3}-\sqrt{|x|}+e^{x} = 3 \).

Comments

Vielen Dank @oswald

Ich habe nicht verstanden wie sie es gezeigt haben. Könne Sie es erklären?

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Ich habe nichts gezeigt.

Suche dir dazu ein \(x_1\) mit
        \( x_1^{3}-\sqrt{|x_1|}+e^{x_1} < 3 \)

Dieser Satz ist im Imperativ formuliert. Er fordert dich auf, die dort genannte Handlung zu unternehmen.

Answer 2

Wir betrachten die in ganz \(\mathbb{R}\) stetige Funktion

\(f(x)=x^3-\sqrt{|x|}+e^x-3\).

Man bekommt \(f(0)<0\) und \(f(2)>0\).

Nach dem Zwischenwertsatz gibt es also \(a\in (0,2)\)

mit \(f(a)=0\).